System von Vektoren |
29.10.2007, 07:51 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
System von Vektoren ich habe hier eine Aufgabe, bei deren Lösung ich mir nicht sicher bin. Logisch ist es zwar, d.h. ich verstehe das Problem, weiß aber nicht, ob ich das so schreiben kann. Zeige: Wenn ein System von Vektoren einen Vektor zweimal enthält, ist es linear abhängig. Lösung: Im ist ein allgemeiner Vektor: . Da die beiden Vektoren gleich sein sollen, ist auch der zweite Vektor . D.h. es gilt: . Der Vektor lässt sich als Linearkombination des Vektors darstellen , da die beiden Vektoren identisch sind. Somit ist ein System, das diese beiden gleichen Vektoren enthält linear abhänig. q.e.d. |
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29.10.2007, 09:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: System von Vektoren Die zugrunde liegende Idee ist ok, allerdings mangelt es mir an der formal korrekten Ausgestaltung des Beweises. Ein System von Vektoren bedeutet doch, daß du k Vektoren v_1, ..., v_k hast, wobei jeder Vektor v_i aus ist. v_1, ..., v_k sind also nicht die einzelnen Komponenten eines Vektors v, sondern selbst Vektoren. Weiter gibt es Indizes i und j mit v_i = v_j. Jetzt mußt du zeigen, daß das System von Vektoren v_1, ..., v_k linear abhängig ist. Dazu solltest du dir die entsprechende Definition anschauen. |
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29.10.2007, 09:15 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie kann ich den ein system von vektoren formal richtig darstellen? |
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29.10.2007, 09:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da würde ich mal nachschauen, welche Schreibweise ihr üblicherweise verwendet. Ich habe sie einfach aufgezählt. Zur Not kann man noch eine Klammer drum machen. |
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29.10.2007, 21:52 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, kann ich das dann so formulieren? für das gilt oder muss es so heißen?: für das gilt Der Vektor lässt sich als Linearkombination des Vektors darstellen , da die beiden Vektoren identisch sind. Somit ist ein System, das diese beiden gleichen Vektoren enthält linear abhänig. Ist das so jetzt formal korrekt oder kann mir jemand eine korrekte schreibweise sagen? |
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29.10.2007, 22:30 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder schreibe ich besser so: gegeben: eine beliebige Anzahl von Vektoren , für bzw. . System der Vektoren . , für das gilt Der Vektor lässt sich als Linearkombination des Vektors darstellen , da die beiden Vektoren identisch sind. Somit ist ein System, das diese beiden gleichen Vektoren enthält linear abhänig. |
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29.10.2007, 23:00 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, korrekt ist das alles nicht, nicht die letzte Post und schon garnicht die Vorletzte. |
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29.10.2007, 23:03 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wie mache ich das dann??? ich brauche das jetzt ganz dringend!!! bitte hilft mir doch jemand weiter! |
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29.10.2007, 23:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wirf erst einmal allen Ballast ab, dessen es nicht bedarf. Wozu das ganze Koordinatenzeugs? Das ist für diese Aufgabe völlig unwichtig. Gib doch einfach eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors an, wenn in einem System von Vektoren zwei gleich sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte . Wie lautet jetzt die Linearkombination? Der Beweis ist ein Einzeiler - nein, ein Viertelzeiler! |
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29.10.2007, 23:09 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
könntest du mir bitte erst mal sagen, wie ich hinschreibe, dass ich ein system von vektoren habe? |
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29.10.2007, 23:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist die nichttriviale Darstellung des Nullvektors, wenn ist: Das war's. |
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29.10.2007, 23:10 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schreibe ich dann einfach: gegeben: System von Vektoren ?? |
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29.10.2007, 23:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du schreibst einfach: Gegeben seien Vektoren mit . Und wenn du einen ganz pingeligen Übungsleiter hast, darfst du noch dazu schreiben: ganz. Nachfrage: Dürfen deine Systeme auch unendlich viele Vektoren enthalten? |
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29.10.2007, 23:15 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, ich versuche ich komplette lösung nochmal aufzuschreiben: In einem System von Vektoren sind zwei Vektoren gleich, also . Ein System von Vektoren ist linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nichttriviale Weise darstellen lässt: . q.e.d. ist das jetzt formal korrekt und vollständig? |
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29.10.2007, 23:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darf dein System auch unendlich sein? |
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29.10.2007, 23:17 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht genau. Die Aufgabe besagt nur "ein system von vektoren". Ich vermute aber eher: nein. |
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29.10.2007, 23:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann schreibe es so auf, wie ich es dir gezeigt habe. Das brauchst du da nicht. |
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29.10.2007, 23:19 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
keine Ahnung. ich kann dir nur sagen, dass das system beliebig viele vektoren enthalten kann - ist aber wahrscheinlich eher zu der anderen frage. habs eben erst gelesen. |
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29.10.2007, 23:21 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also nochmal komplett: In einem System von Vektoren mit , , sind zwei Vektoren gleich, also . Ein System von Vektoren ist linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nichttriviale Weise darstellen lässt: . q.e.d. ist es jetzt richtig? |
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29.10.2007, 23:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier meine Variante, die fertig formulierte Aussage einschließlich Beweis: Sind in einem System von Vektoren zwei gleich, etwa , so ist das System linear abhängig, da eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors ist. |
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29.10.2007, 23:30 | mathestudi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank, hört sich sehr gut an!!! muss ich aber nicht schreiben? hast du vielleicht auch ahnung, von der zweiten aufgabe, hier insbesondere meine allerletze frage dort. |
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30.10.2007, 10:23 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für meine Begriffe ist das ok. Bis auf die Frage, ob das System auch unendlich viele Vektoren haben darf. Das hat aber auf das Ergebnis letztlich keinen Einfluß. |
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