Herleitung Regula Falsi so ok?

29.10.2007, 15:14

Dude83

Herleitung Regula Falsi so ok?

Hallo
ich muss im rahmen eines mathematischen proseminars am mittwoch über die regula falsi ein kurzes referat halten.
Da ich gerne die Formel herleiten möchte, und mich nicht blamieren möchte wäre es nett wenn jemand sagt ob das soweit richtig ist....

$\begin{eqnarray*} \alpha 1 = \alpha 2 \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha 1 = \tan \alpha 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{AB}{CB} = \frac{ED}{DC} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-y_{1}}{x_{3}-x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}-x_{3}} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}(x_{2}-x_{3}) = y_{2}(x_{3}-x_{1})\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}x_{2}+y_{1}x_{3} = y_{2}x_{3}-y_{2}x_{1} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}x_{2} = y_{2}x_{3}-y_{1}x_{3}-y_{2}x_{1} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}x_{2} = x_{3}(y_{2}-y_{1})-y_{2}x_{1} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Erweiterung mit }+x_{1}y_{1} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}x_{2}+x_{1}y_{1} = x_{3}(y_{2}-y_{1})-y_{2}x_{1}+x_{1}y_{1} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}(x_{2}-x_{1}) = x_{3}(y_{2}-y_{1})-x_{1}(y_{2}-y_{1}) \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y_{1}(x_{2}-x_{1}) = (y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}) \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}-x_{1} = -y_{1} \frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} = x_{1}-y_{1} \frac {x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}\\ \end{eqnarray*}$

Warum steht da überall < br/ > davor?

Edit mY+: LaTex verbessert

Danke schonmal smile

29.10.2007, 17:34

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du hier im Forum innerhalb von Latex-Tags keine Zeilenumbrüche machen solltest.

29.10.2007, 17:46

Dude83

Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte schon ich bekomme ne antwort zu meiner frage, naja

was ich noch vergessen habe, die zeichnung zur herleitung

[ModEdit: Link entfernt! Mit externen Links gibt es schlechte Erfahrungen! Bitte statt dessen das Bild direkt ins Board hochladen! mY+]

30.10.2007, 14:21

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dude83
Dachte schon ich bekomme ne antwort zu meiner frage, naja

Entschuldige bitte, aber mein Beitrag WAR eine Antwort auf deine (übrigens einzige) Frage. Es ist auch üblich, dass man sich bedankt, wenn einem geholfen wird...

30.10.2007, 15:16

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Herleitung Regula Falsi so ok?
@Webfitzi

Das stimmt nicht ganz, es wurde oben noch eine Frage gestellt ..

Zitat:

Original von Dude83
...
wäre es nett wenn jemand sagt ob das soweit richtig ist....

Abgesehen von einem Schreibfehler in der 4. Zeile (y2 gehört in den Zähler rechts), stimmt es nur bedingt. Du hast vorausgesetzt, dass y1 selbst positiv sein soll und dann das Minus davor gesetzt. Nach deinem Ergebnis würde dann x3 nicht zwischen x1 und x2 liegen. Mit einem allgemeinen y1 würde es jedoch stimmen ...

(Ich habe es etwas anders gemacht: Die Gerade durch AE allgemein aufgestellt und diese dann mit der x-Achse geschnitten).

mY+

30.10.2007, 15:24

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Herleitung Regula Falsi so ok?

Zitat:

Original von mYthos
@Webfitzi

Das stimmt nicht ganz, es wurde oben noch eine Frage gestellt ..

Zitat:

Original von Dude83
...
wäre es nett wenn jemand sagt ob das soweit richtig ist....

Das ist keine Frage, sondern eine Bitte. Mein Kommentar war zugegebenermaßen etwas spitzfindig gemeint. Augenzwinkern

30.10.2007, 17:20

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Herleitung Regula Falsi so ok?
ich hätte zur herleitung der regula falsi auch noch eine kleine frage:

was ist denn der grundgedanke, der dahinter steckt, die 2 punkte mit einer geraden zu verbinden und deren nullstelle als annäherung zu verwenden?

also beim newtonverfahren leuchtet mit das noch ein, weil man einfach die funktion ihrem taylorpolynom 1. grades annähert, aber bei der regula falsi scheint mir das irgendwie zu sehr aus der luft gegriffen

mfg

30.10.2007, 17:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verfahren nähert mittels einer Sekante den Schnittpunkt mit der x-Achse, so wie die Tangente beim Newtonverfahren, - wenn alles gut läuft - immer mehr der wahren Nullstelle an. Es konvergiert nur langsamer (Vergleich: Sh. Excel Sheet). Der Algorithmus arbeitet rekursiv, es wird mittels des neuen x3 wieder ein (kleineres) Intervall mit den Vorgängern gebildet und analog verfahren, bis die Änderung der Nullstellen der Sekante (der Fehler) unter einem geforderten Minimum liegt (Abbruchsbedingung).

mY+

30.10.2007, 18:54

Dude83

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Herleitung Regula Falsi so ok?

Zitat:

Original von mYthos

Abgesehen von einem Schreibfehler in der 4. Zeile (y2 gehört in den Zähler rechts), stimmt es nur bedingt. Du hast vorausgesetzt, dass y1 selbst positiv sein soll und dann das Minus davor gesetzt. Nach deinem Ergebnis würde dann x3 nicht zwischen x1 und x2 liegen. Mit einem allgemeinen y1 würde es jedoch stimmen ...

(Ich habe es etwas anders gemacht: Die Gerade durch AE allgemein aufgestellt und diese dann mit der x-Achse geschnitten).

mY+

@ mYthos:
Schreibfehler ist korrigiert.

Aber y1 ist halt negativ, da ich wie gesagt die herleitung zu der zeichnung gemacht habe und da liegt y1 im negativen bereich (Dritter Quadrant)

Besteht ne möglichkeit an deine excel datei zu kommen? smile

@WebFritzi: Danke

30.10.2007, 19:04

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Das Verfahren nähert mittels einer Sekante den Schnittpunkt mit der x-Achse, so wie die Tangente beim Newtonverfahren, - wenn alles gut läuft - immer mehr der wahren Nullstelle an. Es konvergiert nur langsamer (Vergleich: Sh. Excel Sheet). Der Algorithmus arbeitet rekursiv, es wird mittels des neuen x3 wieder ein (kleineres) Intervall mit den Vorgängern gebildet und analog verfahren, bis die Änderung der Nullstellen der Sekante (der Fehler) unter einem geforderten Minimum liegt (Abbruchsbedingung).

mY+

ja das ist mir schon klar

also, so wie ich das verstehe benutzt die regula falsi die grundidee des bisektionsverfahrens insofern, dass man davon ausgeht, dass es eine nullstelle bei einer stetigen funktion in einem intervall geben muss, in dem das vorzeichen der funktionswerte wechselt. Das bisektionsverfahren halbiert jetzt einfach immer das Intervall und erhält damit ein kleineres Intervall, in dem die Nullstelle immer noch enthalten ist. Hoffentlich stimmt das bis hierhin. Big Laugh

Aber wieso benutzt man bei der Regula falsi die Verbindungsgerade bzw. die Sekante der Funktion um das Intervall zu verkleinern? Das kann doch nicht willkürlich sein oder? Oder hat man das einfach ausprobiert und ist dann darauf gekommen, dass es schneller als Intervallhalbierung konvergiert?

30.10.2007, 22:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verfahren der Regula falsi ist im Artikel

http://de.wikipedia.org/wiki/Regula_Falsi

näher beschrieben. Exakt danach arbeitet auch mein Excel-Sheet, welches ich natürlich gerne zur Verfügung stelle (sh. Link). Es ist ähnlich dem Bisektionsverfahren, nur dass die Intervalle nicht halbiert werden. Man muss jedoch immer auf Grund der Vorzeichen das entsprechende Intervall festlegen. Das kann man jedoch automatisieren. Den Vorzeichenwechsel und die sich daraus ergebenden Konsequenzen berücksichtige ich in der Excel-Tabelle in den Spalten I, J mittels einer IF-Anweisung, die dann die Inhalte der
Spalten C und D festlegt.

Die Excel-Datei beinhaltet 2 Arbeitsblätte (2 verschiedene Berechnungen).

mY+

Anlage: Excel-Tabelle als ZIP-Datei: Newton-RegFalsi.zip

01.11.2007, 00:47

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Herleitung Regula Falsi so ok?

Zitat:

Original von Dude83
@WebFritzi: Danke

Gern geschehen. Mit Zunge

Neue Frage »

Antworten »

Herleitung Regula Falsi so ok?

Verwandte Themen