Gesetzmäßigkeit in einem Körper

29.10.2007, 18:15

Mulder

Gesetzmäßigkeit in einem Körper

Hallo Leute,

ich hoffe, mir kann jemand bei einer kleinen, ganz unscheinbaren Aufgabe helfen. DIe Aufgabe ist selten banal, vielleicht ist just das der Grund, warum ich mich so schwer tue damit.

Also folgende Aufgabenstellung:

Sei K ein Körper. Zeigen Sie für alle a,b Element von K*

$\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist dies ausschließlich über die Körperaxiome. Ähnliches sollten wir bereits analog zur Gleichung " -(a+b) = -a -b " machen. Dort hatte ich keine Probleme, da habe ich auf beiden Seiten (a+b) hinzu addiert und kam über das additive Inverse auf die richtige Lösung. Demzufolge ging ich davon aus, dass ich hier irgendwie über das multiplikative Inverse zur Löung komen müsste. Aber der Exponent -1 bereitet mir da Kopfzerbrechen.

Jemand eine Idee, wie man das anhand der Körperaxiome zeigen könnte? Mit einem Ansatz wäre mir schon gedient, es muss nicht komplett nieder geschrieben werden.

$\begin{eqnarray*} a_{1234567890} \end{eqnarray*}$

29.10.2007, 18:36

zweiundvierzig

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RE: Gesetzmäßigkeit in einem Körper

Zitat:

Original von Mulder
Demzufolge ging ich davon aus, dass ich hier irgendwie über das multiplikative Inverse zur Löung komen müsste. Aber der Exponent -1 bereitet mir da Kopfzerbrechen.

Gerade der ist ja eine übliche Schreibweise für das multiplikative Inverse.

29.10.2007, 18:51

Mulder

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RE: Gesetzmäßigkeit in einem Körper

Zitat:

Gerade der ist ja eine übliche Schreibweise für das multiplikative Inverse.

So sicher wie das Amen in der Kirche, ja.

Ich kann das allerdings nicht so umformen, dass daraus auch wirklich das gesuchte Ergebnis wird. Wie gesagt, nur nach den Körperaxiomen und anhand der Schreibweisen, dir wir dort auch verwendet haben.

Also es steht da:

$\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$

Wir würdest du ansetzen, um zu dem gesuchten Ergebnis zu kommen? Ich muss meine Vorgehensweise ja auch anhand der besagten Axiome begründen. Das ist ja der eigentliche Kern der Aufgabe.

29.10.2007, 18:53

zweiundvierzig

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Multipliziere mal beidseitig mit $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ .

29.10.2007, 19:01

Mulder

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Das hatte ich auch probiert...

$\begin{eqnarray*} ab(ab)^{-1} = a^{-1}a b^{-1}b = 1 \end{eqnarray*}$

Aber dann kamen mir irgendwie Bedenken. Darf ich das so überhaupt machen? Denn wenn ich an einer korrekten Gleichung einfach auf beiden Seiten etwas dazu multipliziere, beweise ich doch eigentlich nichts. Muss ich nicht eher von...

$\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$

...ausgehen und dies so umformen, dass das gewünschte Ergebnis da steht? Das sind ja jetzt zwei verschiedene Vorgehensweisen. Da bin ich mir unsicher. Denn man kann ja, rein hypothetisch, auch aus etwas falschem etwas richtiges schließen.

29.10.2007, 19:09

zweiundvierzig

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Es ist sogar formal beweisbar, dass Du aus etwas Falschem alles folgern kannst. Darum geht es hier aber nicht. Du hast $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1} \Ra ab(ab)^{-1} = aba^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$ . Überleg mal, was Du jetzt tun kannst. Immerhin ist ein Körper nicht irgendeine Menge, sondern algebraisch strukturiert.

29.10.2007, 19:18

Mulder

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Falls ich das wirklich so machen darf, multipliziere ich an dem Punkt, an wir jetzt sind, auf beiden Seiten jeweils mit dem multiplikativen Inversen von a und b, da erhalte ich wieder

$\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1} \end{eqnarray*}$

, da $\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1}b \end{eqnarray*}$ ja 1 ist und als neutrales Element wegfällt. Soweit war ich. Nur hielt ich das für einen Zirkelschluss, weil man ja eigentlich nichts macht und somit auch nichts beweist.

29.10.2007, 19:32

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mulder
da $\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1}b \end{eqnarray*}$ ja 1 ist und als neutrales Element wegfällt.

Wegfällt? Im Gegenteil, wir erhalten $\begin{eqnarray*} 1 = aba^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$ und habens somit schon fast. Außerdem macht man sehr wohl etwas, indem man eine innere Verknüpfung ausführt.

29.10.2007, 19:45

Mulder

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RE: Gesetzmäßigkeit in einem Körper

Zitat:

Wegfällt?

Im Schritt zuvor! Da habe ich doch ausgehend von...

$\begin{eqnarray*} ab (ab)^{-1} = a^{-1}a b^{-1}b \end{eqnarray*}$

gesagt, dass auf der rechten Seite nach beideitiger Multiplikation von $\begin{eqnarray*} a^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$ folgendes steht:

$\begin{eqnarray*} a^{-1} b^{-1} ab (ab)^{-1} = a^{-1}a b^{-1}b a^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$

Und da entfällt die 1 auf der rechten Seite. Das meinte ich nur. Aber jetzt auch egal, denn folgendes...

Zitat:

wir erhalten $\begin{eqnarray*} 1 = aba^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$ und habens somit schon fast.

... ist mir nicht ganz klar. Was hast du denn hier gemacht? Bzw. mir ist klar, was du gemacht hast, aber welche Gesetze hast du angewandt?

Oder ist anhand der Körperaxiome auch $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} \end{eqnarray*}$ eindeutig als das multiplikative Inverse zu (ab) definiert? Ich tue mich mit der Klammer da etwas schwer, für einzelne Elemente weiß ich, dass es nahand der Körperaxiome gilt.

Zitat:

Außerdem macht man sehr wohl etwas, indem man eine innere Verknüpfung ausführt.

Das ist immer so schwer vorstellbar. Wenn ich zur Gleichung 2 = 1+1 auf beiden Seiten +3 addiere, steht da 2+3 = 1+1+3. Dann subtrahiere ich wieder 3 und erhalte das gleiche wieder. Das ist für mich irgendwie nicht mehr als ein Zirkelschluss... verwirrt

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