Unterraum

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ts0488 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum
Hallo, vieleicht könnt ihr mir weiterhelfen:

Ich soll zeigen, ob folgende Teilmengen Unterräume von .



die anderen Teilmengen poste ich hier später.

Ich denke, dass U1 ein Unterraum von R³ sein muss, weil ja ist und lambda mit v=(1, 1, 1) wieder lambda ergibt.

Aber wie kann ich das jetzt mathematisch korrekt aufschreiben?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass die Unterraumkriterien erfüllt sind.
 
 
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich das denn zeigen?

So?
Es gilt: und

daher gilt auch:

U1==
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn , gilt mit einem geeigneten . So musst du beginnen.
ts0488 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird gesagt, dass der Unterraum von R³ definiert ist als v*, wobei und v=(1, 1, 1)^t.

Ist damit nicht automatisch festgelegt, dass U1 eine Teilmenge von R³ ist, weil danach () ergibt und ist?
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist die komplette Aufgabe:

http://asgsg2007.de/a11.jpg

meine Lösungen dazu:

U1) ist ein Unterraum von R³, weil lambda*(1,1,1) immer eine reelle Zahl ergibt.
U2) ist ein Unterraum, weil x1 und x2 und 0
U3) ?
U4) ?

Mein Problem ist, wie ich nachrechnen/beweisen kann, dass die angegebene Menge ein Unterraum von R³ ist.
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir denn keiner helfen?
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TS4488
kann mir denn keiner helfen?


Zeige die Unterraumkriterien für den Vektorraum
Hier zum nachlesen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@TS4488: schau erstmal nicht so sehr auf die in der Aufgaben genannten Räume, sondern auf die Definition des Unterraums. Zeige dann ganz formal, daß jedes in der Definition genannte Kriterium erfüllt ist. (Deine bislang genannten Begründungen sind es nicht oder nur ganz entfernt.)

Wenn du da nicht weiter kommst, melde dich nochmal.
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das z.B.


für

aber wie sind die restlichen bedingungen zu verstehen, und wie weise ich sie nach?
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass ich die erste Bedingung mit dem Nullvektor etwas verstanden habe:

U1: lambd*v bildet Nullvektor für lambda=0

U2: (x1,x2,0) bildet Nullvektor für x1,x2=0

U3: bildet Nullvektor für x1,x2,x3=0

U4: bildet keinen Nullvektor, weil x1+x2+x3 immer ungleich 0 ist (Summe immer 1)

Kann es sein, dass sich die zweite Bedingung bei keiner der Räume anwenden lässt?
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TS4488
Kann es sein, dass sich die zweite Bedingung bei keiner der Räume anwenden lässt?


Nene, schau dir zwei Vektoren und an, welche in liegen. Und dann addiere diese beiden Vektoren und schaue, ob diese Summe die Eigenschaften des jeweiligen erfüllen.

Hinweis: Für brauchst du das gar nicht mehr versuchen, denn wenn eine Forderung verletzt ist, dann ist es kein Unterrraum mehr. Und da du richtig festgestellt hast, dass die 0 nicht in liegt, kann er auch kein Unterraum mehr sein.
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mylittlehelper
Nene, schau dir zwei Vektoren und an, welche in liegen. Und dann addiere diese beiden


Wie meinst du das?

Soll ich bei U2 z.b. einfach jeweils beliebige Werte für x1, x2 einsetzen und die beiden Vektoren dann addieren?

Also z.B.



Ich hab dabei aber ein ungutes Gefühl...

Und ist (x1, x2, 0) von der Schreibweise überhaupt ein Vektor?
Könnte es nicht auch ein Punkt oder eine Ebene sein?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TS4488
Also z.B.



unglücklich Damit hast du nicht 2 beliebige Vektoren, sondern 2 bestimmte Vektoren aus dem Unterraum genommen. "2 beliebige Vektoren nehmen" heißt, daß du über v_1 und v_2 nur weißt, daß sie aus dem Unterraum sind. Mehr nicht. Du mußt dann zeigen, daß dann auch deren Summe, also v_1 + v_2, in dem Unterraum liegt. Dasselbe muß auch für das Produkt mit einem Skalar, also für lambda * v_1, gezeigt werden.

Ist das denn alles so schwer? verwirrt Das ist doch nur simples Nachweisen, daß die per Definition festgelegten Eigenschaften für einen Unterraum vorliegen (oder eben nicht). Mir scheint, daß du die Definition in ihrem Wortlaut noch nicht richtig gecheckt hast.
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich versteh aber nicht, was du mir damit sagen willst.

Wie kann ich das denn konkret bei U2 oder U4 beweisen?

Wie entnehme ich aus U4 zwei Vektoren?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TS4488
Wie entnehme ich aus U4 zwei Vektoren?


So:
Seien

Jetzt haben v und w jeweils 3 Koordinaten. Diese kannst du benennen wie du willst. Z.B. Was folgt jetzt für die Koordinaten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du tust dich aber ziemlich schwer mit solch formalen Krempel. geschockt

Also ich schlage mal vor, daß wir nicht ständig von einen Unterraum zum nächsten springen, sondern uns nur auf U_2 konzentrieren.
Daß der Vektor (0; 0; 0) dazu gehört, hast du ja schon erwähnt.
Jetzt nehmen wir 2 Vektoren aus U_2 (sagen wir u und v, um lästige Indizes zu vermeiden). Was bedeutet das nun?

Zunächst dies:
und .

Was bedeutet das wiederum? Nun, es gibt Zahlen u_1 und u_2 aus R mit


Analoges gilt für v. Jetzt mußt du zeigen, daß ist.

EDIT: So ein Mist. habe getippt wie ein Weltmeister, aber webfritzi war schneller. traurig
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das nicht.

Zeig mir doch bitte mal den Lösungsweg anhand U4, vielleicht kann ich die anderen dann selbst lösen.

Ich hab keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll, ich hab diese Woche das erste Mal überhaupt was von Unterräumen gehört.
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

also für U2:




Aber warum ist das jetzt ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TS4488
Zeig mir doch bitte mal den Lösungsweg anhand U4, vielleicht kann ich die anderen dann selbst lösen.


Ich mach das ganz bestimmt nicht, denn ich habe den Eindruck, du gibst dir gar keine Mühe. Du versuchst ja nicht einmal, meine letzte Frage zu beantworten. Diese ist wirklich trivial.

Wenn ich dir einen konkreten Vektor vorlegen würde... Würdest du mir dann sagen können, ob dieser in U_4 liegt oder nicht?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TS4488
also für U2:




Aber warum ist das jetzt ?


Weil und reelle Zahlen sind.
TS4488 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleich sollte ich nochmal sagen, dass ich bis vor drei Tagen noch nie etwas von einem Unterraum, R³ o. ä. was gehört habe.

Ich habe einfach keine Ahnung, was ich bei diesen Aufgaben machen soll. Ich verstehe nicht, warum ich mir bei U2 einfach zwei beliebige Vektoren u, v nehmen kann und sage, dass sie in U2 liegen.

Da nützt es mir wenig wenn ihr mir sagt, ich solle doch zeigen, dass "die Unterraumkriterien erfüllt" sind.

Ich habe R³ so verstanden, dass jede Komponente (x1, x2, x3) des Vektors eine Reelle Zahl sein muss. Ist das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ja. Desweiteren ist R³ ein sogenannter Vektorraum. Ist dir klar was das bedeutet? Kennst du überhaupt die Definition eines Vektorraums? (Übrigens eine beliebte Frage in mündlichen Prüfungen: was ist ein Vektorraum? Da kommt so mancher Student schnell ins stottern.)

Wenn du das verstanden hast, kannst du dich an die Definition eines Unterraums ranmachen. Und weil das hier so zäh geht, mache ich es jetzt zur Pflichtaufgabe, daß du mal die Definition eines Unterraums hier vollständig reinschreibst.

Zitat:
Original von TS4488
Ich habe einfach keine Ahnung, was ich bei diesen Aufgaben machen soll. Ich verstehe nicht, warum ich mir bei U2 einfach zwei beliebige Vektoren u, v nehmen kann und sage, dass sie in U2 liegen.

Da nützt es mir wenig wenn ihr mir sagt, ich solle doch zeigen, dass "die Unterraumkriterien erfüllt" sind.

Eins der Unterraumkriterien besagt:
Es muß erfüllt sein, daß gilt:
Wenn Vektoren u und v aus dem Unterraum U stammen, dann ist auch der Vektor, der durch Addition der Vektoren u und v entsteht, also u + v, ein Element des Unterraums U.

Man hat also mit Vektoren u und v zu tun, die prinzipiell zwar aus dem Gesamt-Vektorraum V stammen, aber eben auch zusätzlich noch dem Unterraum U angehören.
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