Nullstellen von Exponentialfunktionen ermitteln

31.10.2007, 11:08

shine21

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Nullstellen von Exponentialfunktionen ermitteln

Hallo,
ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} k(x)=3x²*e^{-x²}-12e^{-x²} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist das 3x² mit dem *. Weiß nicht wie ich das auflösen soll. Mir ist schon klar, dass ich da mit dem natürlichen Logarithmus arbeiten muss, aber wie soll ich das mal nehmen?

Vielleicht kann mir auch jemand eine URL geben wo das Thema gut erklärt wird. Hab schon gegoogelt und in meinen beiden Mathebüchern nach was hilfreichem geschaut, aber ich hab nichts gefunden. Da wird dieses Thema immer nur angeschnitten.

31.10.2007, 11:13

tigerbine

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RE: Nullstellen von Exponentialfunktionen ermitteln
Schaut man sich die beiden Terme an, so haben sie doch einen Faktor gemein:

$\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Den solltest Du einmal ausklammern.

31.10.2007, 11:14

20_Cent

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Du setzt die Gleichung gleich null.
Jetzt gibts kein allgemeines Schema, sondern du musst genau hingucken.
Hier kannst etwas wegdividieren, weil es nie null wird. (Durch null darf man ja nicht teilen)
Danach solltest du weiter auflösen können...
mfG 20

edit: Wenn du meinen und tigerbines post zusammenfast, hast du im Prinzip die Lösung smile

smile

31.10.2007, 11:30

shine21

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.. mein Kollege hat jetzt mal versucht die Aufgabe zu lösen und dabei ist das rausgekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x²+ln(-12)}{3x²} \end{eqnarray*}$

Geh mal davon aus, dass das komplett falsch ist. :P

----

Sorry, aber weiss nicht was du jetzt damit meinst, dass ich was wegdividieren soll. Kannst du dich vielleicht etwas siimpler ausdrücken oder genauer erklären was gemeint ist?

31.10.2007, 11:35

klarsoweit

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unglücklich

Hier wurde mal wieder ganz wüst logarithmiert.

Schau dir den Tipp von tigerbine an und die Sache läuft wie von selbst.

31.10.2007, 11:48

shine21

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So wenn wir jetzt das 3x²* weglassen würden und nur die beiden Terme nehmen wäre das ansatzweise richtig?
$\begin{eqnarray*} -x² ln(e) -x² ln(-12e) \end{eqnarray*}$

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31.10.2007, 12:16

klarsoweit

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unglücklich

unglücklich

unglücklich

Erstens kann man nicht einfach irgendwas weglassen.
Zweitens ist auch das eine wüste Logarithmiererei, wo ich nicht mal ansatzweise erkenne, wie du das rechnest. Im übrigen formst du da einen Term um, wo es im Grunde um eine Gleichung geht.
Drittens solltest du endlich den Tipp von tigerbine befolgen.
Viertens geht es ganz ohne Logarithmus.

31.10.2007, 12:29

shine21

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ja sorry aber ich hatte kein mathe lk.. auf dem berufskolleg wo ich war hatten wir diese sachen nicht dann kommt noch dazu das ich 1jahr nichts mit irgendwas Mathematisches zu tun hatte da ich zivi gemacht habe!!!

So wenn so oberschlau bist dann vesuch es mal zu erklären und verweis nicht immer auf antworten von andere...

Ausserdem weiss ich das man die 3x² nicht einfach weglassen darf!! ich habs nur weggelassen weil ich damit nichts anzufangen weiss und wolte wissen ob der hintere teil wenigstens richtig ist...

31.10.2007, 12:50

klarsoweit

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RE: Nullstellen von Exponentialfunktionen ermitteln

Zitat:

Original von shine21
So wenn so oberschlau bist dann vesuch es mal zu erklären und verweis nicht immer auf antworten von andere...

Dann wäre es ganz nett, wenn du gleich gesagt hättest, daß du mit dem Hinweis von tigerbine nichts anfangen kannst. Im übrigen braucht man für die Aufgabe kein Mathe-LK.

Als erstes wäre es sinnvoll, das Problem mal als Gleichung hinzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} 3x^2 \cdot e^{-x^2} - 12e^{-x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann zum Thema "Ausklammern": Garantiert findest du in deinem Mathebuch was dazu. Googeln könnte auch helfen. Zur Erinnerung das Distributivgesetz:

$\begin{eqnarray*} (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c \end{eqnarray*}$

Den umgekehrten Vorgang - also diese Gleichung von rechts nach links zu lesen - nennt man "Ausklammern". Jetzt überlege mal, welcher Buchstabe paßt zu welchem Term in deiner Aufgabe.

31.10.2007, 12:58

shine21

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Alles klar dann versuch ich das jetzt mal zu lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS. Danke für die Hilfe!

31.10.2007, 17:16

shine21

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Ok, ich hab das ganze jetzt ausgeklammert und hoffe jetzt kommt es dem ganzen nahe ..
Eigentlich müsste das doch dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (3x²-12)e^{-x²}=0 \end{eqnarray*}$

richtig ....?

31.10.2007, 18:13

klarsoweit

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Stimmt so. Freude

Freude

Jetzt überlege, wann das Produkt von 2 Zahlen Null ist.

31.10.2007, 18:31

shine21

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Zitat:

Original von klarsoweit
Stimmt so. Freude

Freude

Jetzt überlege, wann das Produkt von 2 Zahlen Null ist.

Also ich muss die Zahl einsetzen wo ich dann am ende 0 rauskriege? Wäre dann 2 und damit hätte ich zwar die erste Nullstelle, aber wie gehts weiter oder wars das schon? ^^

31.10.2007, 18:38

tigerbine

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Ein Produkt wird Null, wenn mindestens ein Faktor 0 wird. Dann schreib diese Fallunterscheidung doch einmal sauber auf.

$\begin{eqnarray*} 3x^2 \cdot e^{-x^2} - 12e^{-x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot e^{-x^2}(x^2 - 4) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot e^{-x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Fälle gilt es nun zu untersuchen. Das heißt aber nicht RATEN. Bei Fall 1 musst Du wissen, wo Exponentialfunktionen Nullstellen haben. Bei Fall 2, wie man richtig Wurzeln zieht. Deine Lösung x=2 ist unvollständig.

Btw, ein paar eigene Ideen wären schon schön. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Klarsoweit:

Nachdem mein erster Tipp von shine so ungehört blieb, wollte ich es halt noch mit einem probieren. Hatte aber nicht ins wer-wo-online geschaut. Ich verzieh' mich wieder. Wink

Wink

31.10.2007, 18:40

klarsoweit

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Nun ja. Gemeint war folgendes:

Der Term $\begin{eqnarray*} (3x²-12)e^{-x²} \end{eqnarray*}$ soll Null werden. Das geht nur dann, wenn wenigstens einer der beiden Faktoren Null wird.

Also müßte gelten:
$\begin{eqnarray*} 3x²-12 = 0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} e^{-x²} = 0 \end{eqnarray*}$

Der erste ist eine relativ simple quadratische Gleichung. Bei der 2. Gleichung solltest du dir mal überlegen, wo die e-Funktion Null wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: danke tigerbine, daß du mir die Arbeit abgenommen hast. geschockt

geschockt

31.10.2007, 18:45

shine21

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Ahhh jetzt begreif ichs. Das war wieder mal ne schwere Geburt. Haben dann also die Nullstellen 4 und 2.

Vielen Dank für die Hilfe. Big Laugh

Big Laugh

31.10.2007, 18:46

tigerbine

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Nein, das sind nicht die Nullstellen. Genaueres wird dir klarsoweit sagen Mit Zunge

Mit Zunge

31.10.2007, 18:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von shine21
Ahhh jetzt begreif ichs. Das war wieder mal ne schwere Geburt. Haben dann also die Nullstellen 4 und 2.

Vielen Dank für die Hilfe. Big Laugh

Big Laugh

Welche Gleichung hast du jetzt betrachtet und wie bist du darauf gekommen?

31.10.2007, 19:01

shine21

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Ach .. ich hab schlichtweg wieder eingesetzt beim 2. Fall, aber so einfach kann ichs mir wohl nicht machen.
Die erste Gleichung lässt sich ja ganz einfach nach x auflösen und da kommt dann 2 raus und dasselbe müsste ich dann ja auch bei der anderen Gleichung machen oder irre ich mich da jetzt?

31.10.2007, 19:41

tigerbine

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Ich sagte schon, dass x=2 nicht die alleinige Lösung ist. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$

Zieht man nun richtig die Wurzeln, so erhält man

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{eqnarray*}$

Bleibt also nur noch die Frage, wie es um die Nullstellen der Exponentialfunktion bestellt ist.

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