Restklassenringe

31.10.2007, 22:51

chr1s1

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Restklassenringe

Einen wunderschönen guten Tag, dies ist mein erster Post hier, aber ich hab schon seit einiger Zeit mal hier und da gelesen.

Nun zu meiner Frage. Die Aufgabe an sich hab ich so schon ein paar mal hier gefunden, aber ich konnte mit den Hinweise nichts anfangen. Ich soll zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} f: Z/(15) --> Z/(3) \times Z/(5) \end{eqnarray*}$

ein wohldefinierter Homomorphismus von Ringen mit eins ist, darüber hinaus soll ich noch die Umkehrabbildung beschreiben.
Ich habe aber ungünstigerweise, sowas von keine Ahnung wie ich das machen kann. Ich habe schon gesehen, dass hier immer wieder auf den Wikipediaartikel zum Chinesischen Restsatz verwiesen wurde, aber ich erkenne einfach nicht, wie der mir bei der Aufgabe hilft, da ich jetzt noch nicht weiß was ein Ideal ist oder eine Linearkombination etc. Ich hab mir heute schon mit eine paar Freunden 2 Std. lang den Kopf über diese Aufgabe zerbrochen, aber wir haben sie wahrscheinlich von Anfang an falsch verstanden, also dass wir nicht ma richtig verstanden haben, wie diese Abbildung abbildet, also ich habe jedenfalls das Gefühl, dass es scho da ein bissl hackt.

Wäre für ein paar Tipps etc. sehr dankbar.

mfg

31.10.2007, 23:01

kiste

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Wie wärs wenn du auch noch die Abbildung angibst nicht nur von wo nach wo sie abbildet? smile

smile

31.10.2007, 23:12

chr1s1

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Noch die Abbildung angeben? verwirrt

verwirrt

Dachte das wäre die schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das einzige was wir dann noch gesagt bekommen haben ist

i mod 15 $\begin{eqnarray*} |--> \end{eqnarray*}$ (i mod 3, i mod 5)

Ich hoffe doch ma das, dass etwas mehr wie Abbildung ist, weil mehr nicht gegeben wurde. Da es sich um einen Homomorphismus von Ringen handeln soll, bin ich naiver Weise davon ausgegangen, dass es bezüglich der "normalen" Addition und Multiplikation gelten soll.

Ich hoffe das hilft euch mir zu helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg

31.10.2007, 23:17

kiste

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Ok schreiben wir das nochmal schön hin smile

smile

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z_{15} \to \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ <-- Das hier gibt an von wo nach wo abgebildet wird
$\begin{eqnarray*} x \to (x \mod 3, x \mod 5) \end{eqnarray*}$ <-- Das hier ist die Abbildungsvorschrift.

Zuerst einmal zeigst du das wirklich von Z15 auf Z3 x Z5 abgebildet wird.
Dann zeigst du das gilt f(a+b) = f(a) + f(b)

31.10.2007, 23:41

chr1s1

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Ich bin mir ja noch nicht mal sicher, dass wirklich abgebildet wird, womit ich nicht in Frage stellen möchte, dass es passiert, sonder sagen möchte, dass ich noch nciht so sicher bin, wie abgebildet wird. (Abbildungen hatten wir so noch nicht und ich muss mich erstmal ein wenig einarbeite).

So wie du die Abbildung aufgeschrieben hast wird mir an sich schon einiges klarer, aber ich muss gleich nochma Nachfragen, ob man wirklich $\begin{eqnarray*} x \to (x \mod3 ... \end{eqnarray*}$ schreiben kann, wenn es heißt $\begin{eqnarray*} i \mod 15 \to (i \mod 3 ..... \end{eqnarray*}$ Auf jeden Fall wird mir einiges klarer (hoffe ich), wenn man es so schreiben kann wie du. Da ich vor allem nicht so wusste, wie ein Homomorphismus bei einer binäreren Relation zu definieren ist (kann sein, dass mna das gar nicht hier braucht, aber ich hatte halt die Vermutung, dass man es doch brauche könnte), aber wenn es im Endeffekt nur das x gibt, dann kann ich mir das schon eher vorstellen.

Aber ich muss noch ein bissl über das Thema nachdenken - wobei ein paar Denkanstöße natürlich noch sehr hilfreich wären Augenzwinkern

Augenzwinkern

- aber morgen ist zum Glück noch Seminar, da kann ich ja noch ein paar Fragen stellen.

mfg

31.10.2007, 23:49

kiste

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Ein Gruppenhomomorphismus ist immer definiert als eine Abbildung für die f(a+b) = f(a) + f(b) gilt.(Beachte die + sind im allg. verschieden Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Dabei ist es egal ob man auf einen 2-tupel oder sonst etwas abbildet.

Wie man es schreiben kann kommt vor allem auf die Definition eurer Restklassenringe an. Etwas lapide schreiben kann man es auf jeden Fall so, es muss ja im Prinzip nur klar sein was auf was abgebildet wird

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01.11.2007, 18:39

chr1s1

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Augenzwinkern

Aber wie sieht das dann aus, wenn man den Homomorphismus beweisen will?

Ist $\begin{eqnarray*} (a+b)\mod 15 = (a\mod 3,a\mod 5) + (b\mod 3, b\mod 5) \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja könnte man dann die rechte Seite addieren und würde man dann $\begin{eqnarray*} ((a+b)\mod 3, (a+b)\mod5) \end{eqnarray*}$ erhalten? Das ja dann - unter Umständen - $\begin{eqnarray*} f(a+b) \end{eqnarray*}$ wäre oder bin ich gerade vollkommen auf dem Holzweg?

Und mit dem wohldefiniertsein tu ich mich auch schon sehr schwer. Uns wurde heute gesagt, dass man zeigen soll, dass auch $\begin{eqnarray*} x_1=x_1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ gilt.

Jedenfalls ahb ich die Aufgabe mittlerweile ein bissl mehr verstanden, anfangs dachte ich man müsste mit den beiden Zahlen, die man dann erhält rechnen können, also so addieren und multipliziieren und daraus wollte ich dann einen eigenen Ring machen und alles sehr umständlich und falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich bin ich von der Lösunge des Problems immernoch ein wenig entfernt, aber da hoffe ich ja auf eure Hilfe.

mfg

02.11.2007, 18:58

chr1s1

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Huch, schon ist mein Thread auf der 2. Seite, aber ich bin mit der Aufgabe noch nicht wirklich weiter. Vlt. kann mir ja doch noch jmd. ein paar Denkanstöße geben oder sich zu dem äußern was ich als letztes geschrieben hab.

mfg

02.11.2007, 19:08

kiste

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Das Problem liegt wohl in der Hautsache daran das du den Raum nicht genau definiert hast.
Im Allgemeinen indentifiziert man das was du machst im Faktorring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /_{n\mathbb Z} \end{eqnarray*}$ .
Ich vermute allerdings sehr stark das ihr das noch nicht hattet.

Versuchen wir es also anders:
$\begin{eqnarray*} f(a) + f(b) = (a \mod 3,a\mod 5) + (b \mod 3,b\mod 5) = ((a \mathrm{mod} 3 + b \mathrm{mod} 3)\mathrm{mod}3,(a \mathrm{mod} 5 + b \mathrm{mod} 5) \mathrm{mod}5) \end{eqnarray*}$ .

Das letzte =-Zeichen ist eine Vermutung von mir wie ihr die Addition definiert habt!

für die Wohldefiniertheit musst du zeigen das Vielfache von 15 dasselbe Ergebnis liefern, da die Vielfachen mit einem Wert identifiziert werden(normalerweise mit einer Äquivalenzrelation aber du hast nichts in der Richtung erwähnt) also:
$\begin{eqnarray*} f(a) = f(a + 15k) \text{ mit } k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 20:38

Luci

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Hallo, ich hab zufällig genau dieselbe Aufgabe.. und bin auch ein wenig ratlos.
Ich hatte mir gedacht, dass zu Beweisen ist:
f(a) + f(b) = (a mod 3 + b mod 3) X (a mod 5 + b mod 5) oder nicht?

Auf jeden Fall versteh ich nicht, wie du auf
$\begin{eqnarray*} ((a mod 3 , a mod 5 ) + (b mod 5 , b mod 5) = (amod3 + bmod3)mod3, (amod5 + bmod5)mod5) \end{eqnarray*}$
kommst

Gruß Luci

03.11.2007, 20:51

kiste

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Nein den mod dannach braucht man. Beispiel:
f(2)+f(4) = (2,2)+(1,4) = (3,6) nach dir, aber es muss (0,1) rauskommen wie auch bei f(6).

(3,6) wäre ja auch außerhalb des Bereichs in den wir abbilden

03.11.2007, 22:12

Luci

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aber bei (3,6) würde doch auch wieder (0,1) rauskommen..
3-3=0; 6-5=1

03.11.2007, 22:19

kiste

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Ja genau das wird durch das zusätzliche mod noch ausgedrückt!

04.11.2007, 01:00

Luci

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achso. verstanden.
aber warum darf ich das einfach so hinschreiben? ich weiß zwar, dass ich das raus haben möchte, aber ich hab es nicht schrittweise umgeformt - oder fehlen bei dir jetzt nur die zwischenschritte?
Dann wäre es super nett, wenn du schreiben könntest, wie man mit dem x rechnet..
von $\begin{eqnarray*} (a_3 x a_5) + (b_3 x b_5) \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} ((a_3+b_3)_3+ (a_5+b_5)_5 \end{eqnarray*}$ zu kommen, ist ja nicht auf den ersten Blick zu sehen

P.S.: bitte entschuldige mein Unverständnis

04.11.2007, 10:19

kiste

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Zitat:

Original von Luci
von $\begin{eqnarray*} (a_3 x a_5) + (b_3 x b_5) \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} ((a_3+b_3)_3+ (a_5+b_5)_5 \end{eqnarray*}$

In deiner Schreibweise komme ich auf $\begin{eqnarray*} (a_3+b_3)_3 x (a_5+b_5)_5 \end{eqnarray*}$ .
Wie oben schon erwähnt ist das eine Vermutung von mir wie ihr die Addition definiert habt.
Es ist im Prinzip eine Analogiebildung zu dem was üblicherweise gemacht wird(Man bildet die Faktorgruppe in dem durch nZ faktorisiert wird(falls dir das nichts sagt, nicht schlimm)). Eine Addition erfolgt in der Regel komponentenweise, d.h. die erste Komponente wird mit der ersten addiert usw. wie auch hier gemacht.

Da aber sowohl du als auch chr1s1 mir keine Definition nennen konntet kann ich nur raten was euer Übungsleiter damit gemeint hat.

04.11.2007, 11:57

Luci

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Es gibt demnach verschiedene Möglichkeiten, wie man mit dem x rechnen kann? Also, die die du angewandt hast, ist auf jeden Fall logisch, und wenn ich wüsste, dass man sie so anwnden darf, würde ich das natürlich auch tun, aber leider hatten wir das weder in der Vorlesung noch in der Übung und daher weiß ich nicht, ob wir einfach schrieben dürfen, dass das eine = das andere ist. Gibt es Möglichkeiten, zu beweisen, dass man das machen darf? Oder ist das immer nur per Definition, dass ich also einfach hinschreibe: Ich definiere mir, dass das x soundso gerechnet wird?

04.11.2007, 12:03

kiste

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Das ist die zu 99% gemeinte Definition. Wenn du keine andere in der Vorlesung hattest empfehle ich dir diese zu benutzen. Normalerweise werden in der Vorlesung Definitionen gegeben und dazu Sätze bewiesen und du musst weitere Sätze in der Übung beweisen oder eben etwas nachrechnen.

Beweisen kannst du das nicht, es ist wie gesagt Definitionssache.
Ich würde vorschlagen du rechnest einfach an der von mir vorgeschlagenen Definition die Sache durch, beschweren das die Aufgabe nicht eindeutig war kannst du dich später ja immer noch Big Laugh

Big Laugh

.

04.11.2007, 12:13

Luci

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mach ich, und dann schreib ich dir, was mein Prof als entschuldigung anführt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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