surjektiv, injektiv, bijektiv

01.11.2007, 16:35

marci_

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surjektiv, injektiv, bijektiv

ich muss bei den einzelnen funktionen untersuchen, ob sie surjektiv, injektiv, bijektiv sind:

ich hab mir dann verschiedene werte vorgestellt und dann argumentiert:

$\begin{eqnarray*} f_1: \mathbb R \to \mathbb R: x \to e^{-x^2+1} \end{eqnarray*}$

nicht surjektiv, weil nicht alle werte aus dem wertebereich angenommen werden
nicht injekiv, weil zwei verschiedene x-werte den selben y-wert besitzen
und somit auch nicht bijektiv

$\begin{eqnarray*} f_2: \mathbb R \to [-1, \infty): x \to |x|-1 \end{eqnarray*}$

nicht surjektiv, weil nicht alle werte aus dem wertebereich angenommen werden
injektiv, weil jeder x-wert genau einen y-wert hat
wäre die funktion allerdin von R nach R, dann wre sie nicht injektiv

$\begin{eqnarray*} f_3: \mathbb R \to \mathbb R: x \to min\{x^2,x\} \end{eqnarray*}$

dies ist doch praktisch die gerade y=x

bijektiv, jedem x-wert genau ein y-wert und es werden alle werte aus dem wertebereich angenommen!

stimmen die 3 aussagen und sind sie richtig begründet?

aufgabenteil b)

für welche werte von $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind die abbildungen injektiv?

$\begin{eqnarray*} f_4: [0,a] \to \mathbb R: x \to x^2-5x+7 \end{eqnarray*}$

wenn ich die funktion auf scheitelform bringe, dann ist f_4 injektiv für a=2,5, weil nur im bereich von 0 bis 2,5 injektivität gegeben ist!

$\begin{eqnarray*} f_5: \mathbb R\{2\}\to \mathbb R: x\to \frac {2x^2-3x+a}{x-2} \end{eqnarray*}$

wie kann ich das nun hier am besten machen?
ich habe zuerst einmal die nullstellen berechnet. für $\begin{eqnarray*} a < \frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ gibt es zwei nullstellen und für $\begin{eqnarray*} a> \frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ keine lösung für $\begin{eqnarray*} a=\frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ eine lösung

muss ich hier jetzt alle 3 fälle unterscheiden und dann jeweils nochmals für rechts und links der nullstellen die injektivität bestimmen?

$\begin{eqnarray*} f_6: \mathbb R \to \mathbb R: x\to x^3+ax \end{eqnarray*}$

injektiv für a =0
für a<0 gibt es mehrere nullstellen und dadurch ist die injekivität nicht immer gegeben...muss ich hier dann auch alle bereiche nennen, bei denne injektivität gilt?

vielen dank!

01.11.2007, 17:16

20_Cent

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Sofort mal zu den "Begründungen".
Du hast nicht bewiesen, dass die Funktionen die Eigenschaften erfüllen, sondern nur noch mal hingeschrieben, was zu zeigen ist.
z.B. beim ersten: Was wird nicht getroffen, welche Zahl wird zweimal getroffen...
mfG 20

01.11.2007, 17:19

marci_

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heißt das, dass meine begründungen prinzipiell richtig sind, ich aber nur nicht vollständig alles aufgeschrieben habe?

bei der ersten: es werden keine negativen werte angenommen!

01.11.2007, 17:29

tmo

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zur zweiten funktion: da würde ich nochmal drüber nachdenken. werden wirklich nicht alle werte des wertebereichs angenommen?

und die begründung "injektiv, weil jeder x-wert genau einen y-wert hat" ist sinnlos, denn das ist bei einer funktion immer so. injektiv bedeutet ja eigentlich das gegenteil, nämlich, dass zu jedem y-wert nur ein x-wert gehört.

und die 3te funktion ist nicht die gerade y = x. betrachte die funktion mal zwischen 0 und 1.

01.11.2007, 17:31

marci_

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ja stimmt, die funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv!
f(-1)=f(1)=0

ah klar, f_3 ist nicht die gerade y=x, ich hab nur ganze zahlen betrachtet, mein fehler....
aber sie ist dennoch bijektiv?

01.11.2007, 17:38

tmo

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ja ist sie. begründung?

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01.11.2007, 17:40

marci_

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zu jedem y-wert gehört genau ein x-wert, alle werte des wertebereichs werden "verbraucht"

wie ist es mit den anderen aufgaben, stimmen diese? und beosnders, wie geh ich bei f_4,f_5 und f_6 vor

01.11.2007, 17:45

tmo

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das ist aber keine begründung, sondern das ist eigentlich mehr eine wiederholung dessen, was gelten muss.

besser ist es, die funktion einfach mal zu zerlegen.

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 ~ oder ~ x \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ sonst.

Behauptung: Für jedes $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt entweder $\begin{eqnarray*} f(r) = r \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{r}) = r \end{eqnarray*}$

Beweis: Ist dir überlassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Folgerung: $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

01.11.2007, 23:39

marci_

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ich hab mir mal $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ gezeichnet...
rein vom graphischen seh ich hier doch zusätzlich noch injektivität...warum ist die funktion dann nicht bijektiv?

01.11.2007, 23:49

tigerbine

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Wo hat tmo denn gesagt, dass sie nicht bijektiv ist? verwirrt

verwirrt

Er hat nur gesagt, dass Du einen Beweis führen sollst. Dazu der Tipp:

$\begin{eqnarray*} f_3(x):=\begin{cases} x & x < 0 \\ x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ x & 1 < x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für die Surjektivität kannst Du die Identität und den Zwischenwertsatz stetiger Funktionen heranziehen. Es bleibt eben noch die Injektivität zu zeigen. Dazu müßte man eigentlich nur formal korrekt Wurzeln ziehen und die Lösungen mit der Defintionsmenge vergleichen, oder?

01.11.2007, 23:54

marci_

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ok, dankeschön!

aber wie gehe ich bei f_4,f_5 und f_6 am besten ran?
überprüf ich hier mit den nullstellen und zähl dann die bereiche auf, in denen injektivität gilt?

02.11.2007, 00:00

tigerbine

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Ich hasse dieses Scrollen, weil jemand so viele Aufgaben auf einmal einstellt. Teufel

Teufel

Zitat:

Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind die Abbildungen injektiv?

$\begin{eqnarray*} f_4: [0,a] \to \mathbb R: x \to x^2-5x+7 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir einen Plot zur Übersicht:

Es ist nun vorgeben, dass eine Intervallgrenze bei x=0 liegt. D.h. wir müssen 2 Fälle unterscheiden: a<0 und a>0. Auch ohne Plot, weiß man, wie der Graph der Funktion aussieht -> Parabel. Entscheidend für die Injektivität ist also, wo der Scheitelpunkt liegt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2007, 00:07

marci_

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RE: surjektiv, injektiv, bijektiv
ich wollte nicht für jede aufgabe nen extra thread aufmachen...

ich hatte geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f_4: [0,a] \to \mathbb R: x \to x^2-5x+7 \end{eqnarray*}$

wenn ich die funktion auf scheitelform bringe, dann ist f_4 injektiv für a=2,5, weil nur im bereich von 0 bis 2,5 injektivität gegeben ist!

und bei dne anderen funktionen: schau ich da auf die nullstellen/extrema?

02.11.2007, 00:12

tigerbine

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Aufgabe 4
Da bin ich anderer Meinung. Es steht da $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ . Bei der Intervallschreibweise muss man sich halt für eine Variante entscheiden, daher [0,a].

Dennoch bindet auch einen die Interpretation a > 0 nicht an den Wert a=2.5, denn auch a=1 wäre möglich. Es ist ja nicht nach dem maximalen Intervall gefragt. Ferner bin ich der Meinung, dass man auch negative Werte von a betrachten sollte.

Das mit den vielen Aufgaben führt imho immer etwas zum Chaos, gerade wenn im Board viel los ist. Du könntest die Threads dann auch durchnummerieren. Nun ist es eh "woscht" Big Laugh

Big Laugh

02.11.2007, 00:17

marci_

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mit a=2,5 meine ich, dass ich diese lösung in das intervall eintrage!

$\begin{eqnarray*} f_4: [0,2.5] \to \mathbb R: x \to x^2-5x+7 \end{eqnarray*}$ ist injektiv

und die anderen aufgaben?

02.11.2007, 00:22

tigerbine

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Aufgabe 4
Aber Du musst die Frage doch genau lesen. Für welche a ist die Funktion auf dem Intervall [0,a] injektiv. Da lautet die Antwort eben:

$\begin{eqnarray*} a \in [0,2.5] \end{eqnarray*}$

Und da ich immer noch der Meinung bin, das negative Werte erlaubt sind, gehört auch noch

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^- \end{eqnarray*}$

dazu.

Die anderen Aufgaben macht vielleicht wer anders. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2007, 00:31

marci_

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okei, dankeschön!
n worten ausgedrückt: für alle x-werte kleiner gleich 2,5 ist die funktion injektiv.

02.11.2007, 00:36

tigerbine

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Nein, für alle a im Intervall [0,2.5] ist die Funktion auf dem Intervall [0,a] injektiv.

Negative Werte analog.

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