Beweis einer Aussage (Implikation)

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Martin84 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Aussage (Implikation)
Hallo,


wie kann man folgende Aussage beweisen?

n >= 6 => 3^n > 2*n^3 für alle neN

Ich habe bisher immer nur Gleichungen bewiesen, aber ich habe keine Ahnung, wie man bei einer Implikation mit zwei Ungleichungen vorgeht?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer Aussage (Implikation)
Wie wärs mit Vollständiger Induktion mit Anduktionsanfang n=6???

Wenn du das kannst, dann ist es doch hier ein leichtes.
 
 
Martin84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer Aussage (Implikation)
Hallo,

das war leider doch nicht so einfach, wie ich gehofft hatte.
Ich hänge an folgender Stelle fest:

A(n+1) : 3^(n+1) > 2(n+1)^3 <=> 3^n * 3 > 2(n+1)^3

Wie mach ich jetzt weiter? Ich hatte bisher noch keine Ungleichungen bei der vollständigen Induktion. Ich hab hier zwar 3^n isoliert (wie in der IV), aber ich wüsste nicht, wie ich die IV jetzt einsetzen soll?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer Aussage (Implikation)
Schreiben wir das vielleicht erstmal lesbar auf:

Du hast

Induktionsanfang sei jetzt mal klar. Induktionsschritt:

Du willst zeigen:



Fang an auf der linken Seite und führe es durch umformen, abschätzen und einsetzen der IV auf die rechte Seite:



Wie könntest du jetzt weiter machen?
Martin84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie schätzt man denn in der mathematik ab? Das kommt mir noch sehr fremd vor.
Martin84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Vektorraum,

vielleicht in etwa so?

3^(n+1) = 3^n * 3 >(laut IV) 2*n^3 * 3 > 2 * (n+1)^3 q.e.d.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja größtenteils was ich schon geschrieben hatte, nur hast du gleich die rechte Seite der Zu zeigen Zeile eingearbeitet. Da willst du mal hin, aber ich denke nicht, dass man das so schnell "sieht".

Abschätzen ist eine Kunst. Gerade in der Analysis wird das betrieben, indem also die direkte Rechnung mit präzisen Werten vermieden wird, sondern viel mehr bekannte Ungleichungen angewendet werden, um sich auf das wesetliche zu beschränken.

Vielleicht hilft es hier erstmal zu überlegen, was heißt...
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

würd gern noch wissen wie ihr darauf kommt:

2*n^3 * 3 > 2 * (n+1)^3
Martin84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

heute Abend kann ich Latex leider nicht mehr lernen, daher schreibe ich heute noch auf die hässliche Art.

2 * (n + 1) ^3 = 2 * (n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1) = 2*n^3 * 6*n^2 + 6*n + 2

Also muss ich es so hinbekommen, dass auf der rechten Seite der Ungleichung < 2*n^3 * 6*n^2 + 6*n + 2 steht, richtig?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »


alles was ich gemacht habe ist es zwischen [ latex ]-Tags zu packen, ich denke nicht das es so viel Aufwand benötigt.

Deine Frage habe ich leider nicht verstanden
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe nicht, wie eure rechnung diesen schluss mit sich bringt

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja noch zu zeigen seitens des threaderstellers @ Hochpunkt.

ich kann eigentlich nur wieder für folgende methode werben:

DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

Darf man die 3te Wurzel aus 3 derart beliebig annähern? ich meine die relation (kleinerzeichen) ist ja im grunde korrekt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ich will die 3te wurzel aus 3 ja gar nicht annähern, ich will nur einen wert finden der kleiner ist und das ist 7/6 definitiv. und 7/6 ist nunmal gerade der kleinste wert den man hier wählen kann, um die abschätzung erfolgreich zu ende zu bringen.
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