Gemischte Fragen zu Grundlagen |
02.11.2007, 05:39 | pygospa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gemischte Fragen zu Grundlagen ich habe neulich ein paar Grundlagen aufgearbeitet, und habe nun ein paar Verständnisfragen - ich denke/hoffe, dass ist hier am besten Aufgehoben: 1.) Häufungspunkte: * Sind in der Menge der reellen Zahlen alle Punkte Häufungspunkte? * Und umgekehrt: In der Menge der natürlichen Zahlen können keine Häufungspukte vorkommen? * Sinn macht diese Definition wahrscheinlich nur in Anwendungsgebieten wie der Wahrscheinlichkeitsrechnung? 2.) Schranken: * Kann eine Teilmenge der natürlichen Zahlen nur Schranken, aber kein Supremum und Infinum haben? * Im Gegensatz dazu gibt es in Teilmengen der reellen Zahlen sowohl schranken als auch Supremum und Infinum? [Wenn alle diese Fragen von mir mit Ja beantwortet werden, dann hab ich die Definitionen bis hierhin verstanden ] 3.) Abzählbarkeit: Laut meiner Definition ist eine Menge Unendlich, wenn es zwischen ihr und einer echten Teilmenge eine 1-1 Zuordnung gibt. Wie ist das zu verstehen? Als beispiel wird die Menge der geraden Zahlen als Teilmenge der Natürlichen Zahlen genommen. Ja, da gibt es sicherlich eine 1-1 Zuordnung. Die Menge {1...10} ist aber auch echte Teilmenge von |N. Heißt 1-1 nicht in beide Richtungen? Also ist |N damit auf einmal nicht mehr unendlich? Zu Abzählbar wird gesagt, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, die irrationalen/reellen Zahlen aber nicht. Wieso ist dies so? Ich hatte Abzählbarkeit immer so verstanden, dass zwischen zwei Elementen keine weiteren Elemente liegen - wäre bei den natürlichen Zahlen der Fall, zwischen zwei rationalen Zahlen liegen doch aber immer weitere rationale Zahlen? Einen großen Dank im Vorraus! |
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02.11.2007, 10:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
1.1. Ja (wenn man die euklidische Topologie auf voraussetzt, auch im folgenden). 1.2. Richtig, keine Häufungspunkte. 1.3. Der Problemkreis gehört zur Topologie. Die ist selber ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik und hat Relevanz für viele andere Gebiete, nicht nur die Wahrscheinlichkeitslehre. 2.1. Jede nach oben beschränkte Teilmenge von besitzt ein Supremum, also gilt das auch für nach oben beschränkte Teilmengen von . Infimum entsprechend. 2.2. vgl. 2.1. 3.1. 1-1-Zuordnung meint eineindeutige, d.h. bijektive Zuordnung. Zwischen der Menge der Zahlen und gibt es in der Tat keine bijektive Zuordnung. In der Formulierung heißt es aber "... zwischen ihr und einer echten Teilmenge ...". Diese etwas lasche Formulierung meint ausführlicher, "daß eine echte Teilmenge existiert, so daß zwischen ihr und der gesamten Menge eine bijektive Zuordnung besteht". 3.2. Kann das sein, daß du abzählbar mit dicht verwechselst? |
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02.11.2007, 13:31 | pygospa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gut, den Begriff hab ich vorher noch nie gehört... Hab mal ein wenig gegooglet - hört sich ja sehr komplex an, dass ganze
Hm, laut meiner Definition, die ich hier Vorliegen habe, heißt es: Ist M eine Zahl, die von keinem Element der Menge übertroffen wird, und wenn zu jedem e>0 mindestens ein Element existiert, welches größer ist, als M-e, dann heißt M das Supremum der Menge. Nehmen wir jetzt an, ich habe eine Menge A, die Teilmenge aus ist, und für deren Elemnte x gilt: A = {x | x>0 und x<7}. Dann wäre doch M = 6 (größtes Element). Wenn ich jetzt e=6 setzte, dann gibt es keine Zahl y aus A, für die gilt M-e<y, oder? Fazit: Kein Supremum. Daher habe ich darauf geschlossen, dass es für alle Teilmengen aus gelten muss. Denn anders, wenn die Teilmenge aus wäre. Dann hätte ich hier noch das Element 0,1, usw. Wenn Teilmengen von also Supremi und Infini (der Plural der Wörter?) besitzen, kannst Du mir dann erklären, was an meinen Überlegungen falsch ist?
Also falls irgend eine Teilmenge existiert - auch wenn mehrere Existieren, bei denen das nicht der Fall ist..., richtig?
Ja, dem war so. Allerdings sehe ich zwischen Abzählbarkeit und Dichte irgendwie immernoch einen Zusammenhang, und werde auch aus den Wikipedia-Artikeln immernoch nicht schlauer
Weiterhin heißt es aber, dass die Menge nicht abzählbar ist (klar, die Kardinalität ist größer als bei , denn obwohl beide unendlich sind, hat doch zwischen 2 Zahlen wieder unendlich Zahlen, was bei nicht der fall ist), die menge aber sei abzählbar!? Wie kann das sein? Die Kardinalität von ist doch ebenfalls größer als die von ? |
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02.11.2007, 17:21 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein. Tatsächlich gibt es zwischen beiden Mengen eine Bijektion: Cantors erstes Diagonalverfahren Edit: Eine interessante Folgerung ist z.B. . Edit 2: Natürlich erst mittels des zweiten Diagonalarguments. |
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02.11.2007, 18:40 | pygospa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Okey, schwere Geburt, aber ich glaube, jetzt hab ichs *gg*. Diese Besondere Anordnung der Zahlen sorgt dafür, dass zwischen den einzelnen Zahlen aus keine weiteren Zahlen liegen --> es wird abzählbar. Richtig? Danke für diesen Augenöffner Jetzt fehlt nur noch die Supremum/Infinum-Geschichte, dann kann ich weiter lernen |
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02.11.2007, 18:45 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Sogar für alle gälte doch dann |
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02.11.2007, 20:39 | pygospa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Okey, ich merk grade, dass das ziemlich doof war - ein Denkfehler, sorry... Und da nicht 0 sein darf, und y aber sicherlich gleich M, also in dem Fall 6 sein darf, ist die Gleichung immer gültig. Verstehe. Gut, dann hab ich aber doch noch eine Frage (sorry, wenn ich da jetzt so drauf herum reite, aber ich will wirklich sicher sein es verstanden zu haben): Was wäre denn dann ein Beispiel, in dem es nur Schranken, aber keine Supremi und Infini gäbe? @zweiundvierzig: Danke für die Hinweise auf die Dialogverfahren Der erste war einfach zu verstehen, den zweiten habe ich in der deutschen Wikipedia garnicht verstanden - da hat mir dann die englische Wikipedia weitergeholfen - es geht also im Prinzip darum dass Zahlen konstruiert werden können, welche (bewiesen durch ihre besondere Art der konstruktion) noch nicht vorhanden sind. Und wenn man dass dann weiter führt, kommt man über jede neue Zahl auf eine weitere konstruierbare Zahl, also unendlich viele. Und das alleine Zwischen 0 und 1 - es ist also Überabzählbar und daher ist die Kardinalzahl größer als , welches nur abzählbar ist. Mensch, wenn das jetzt alles richtig ist, dann hab ich das ja verstanden! Vielen Dank! Echt super Hilfe hier! |
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03.11.2007, 00:07 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hi, schön, dass wir Dein Interesse weiter vorangetrieben haben.
Betrachte . Btw: Die Begriffe sind lateinischer Abstammung.
Die Frage, ob etwas konstruiert oder entdeckt wird, ist eher von erkenntnistheoretischer Bedeutung. |
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03.11.2007, 00:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du bist offenbar kein Lateiner, denn es heißt das Infimum (sg.) und die Infima (pl.), genauso wie Maximum/Maxima, Praktikum/Praktika, auch wenn noch so viele Leute Praktika/Praktikas sagen ... (mir zieht's da die Socken aus!) Jetzt zum Inhaltlichen. In geht so etwas nicht, das ist gerade der Inhalt des Vollständigkeitsaxioms. Wenn du aber den Bereich betrachtest, so gibt es in der Tat beschränkte Mengen, die kein Infimum oder Supremum in besitzen. Deshalb ist auch nicht vollständig, obwohl es dicht ist. Beispiel: ist beschränkt, z.B. nach unten durch und nach oben durch . Aber besitzt weder Infimum noch Supremum, wohlgemerkt: in . Gerade sehe ich, daß zweiundvierzig schon geantwortet hat. Da ich aber schon alles geschrieben habe, sende ich es jetzt auch ab. |
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03.11.2007, 01:06 | pygospa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vielen Dank euch beiden, für die Zeit (und Geduld mit mir )! Das hat mir echt sehr weitergeholfen! Bin echt froh, dass ich dieses Board gefunden habe |
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