Integralregel

02.11.2007, 10:16

Arcus Tangens

Integralregel

Hallo,
könnt ihr mir bitte sagen, wie hier integriert wurde? Also welche Regel wurde hier angewendet?
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x=0}^{t}xe^{cx}dx=\left[\dfrac{1}{c^2}e^{cx}(cx-1)\right]_{x=0}^{t} \end{eqnarray*}$

Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 10:18

Dual Space

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RE: Integralregel
Mit partieller Integration kommt man hier zum Ziel.

02.11.2007, 10:51

Arcus Tangens

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RE: Integralregel
Hallo Dual Space,
kannst Du mir die Anwendung bitte schrittweise erklären?
Weil ich sehe da momentan gar keinen Zusammenhang mit der partiellen Integration.
Also ich komme nur so weit:
partielle Integration= $\begin{eqnarray*} \fbox{$\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f(x) \cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)|_a^b-\int\limits_a^bf'(x)\cdot g(x)dx $} \end{eqnarray*}$
Da wird ja schonmal hinten noch ein Integral abgezogen, was ja bei meiner Aufgabe fehlt.
Wie kommt das?
Und x=f(x) und $\begin{eqnarray*} $e^{cx}$ \end{eqnarray*}$ =g'(x)
oder x=g'(x) und $\begin{eqnarray*} $e^{cx}$ \end{eqnarray*}$ =f(x)?

Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 11:02

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(v'\cdot u)~ dx= [u\cdot v]- \int_{}^{}~(u' \cdot v)~dx \end{eqnarray*}$

Mit :

$\begin{eqnarray*} u= x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = e^{cx} \end{eqnarray*}$

Kommst du zum Ergenis.

02.11.2007, 11:30

Arcus Tangens

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Hallo Derkoch,
ich komme da höchstens auf den Holzweg, kannst Du mir meinen Rechenfehler hier zeigen?:
Ich habe hier gerechnet, daß $\begin{eqnarray*} $v=e^{cx}$ \end{eqnarray*}$ , das stimmt doch, oder?

$\begin{eqnarray*} $xe^{cx}|_0^t-\int_0^te^{cx}=\left[te^{ct}-0e^{c0}\right]-\left[e^{ct}-e^{c0}\right]=te^{ct}-e^{ct}-1$ \end{eqnarray*}$

Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 11:48

derkoch

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Zitat:

Original von Arcus Tangens
Hallo Derkoch,
ich komme da höchstens auf den Holzweg, kannst Du mir meinen Rechenfehler hier zeigen?:
Ich habe hier gerechnet, daß $\begin{eqnarray*} $v=e^{cx}$ \end{eqnarray*}$ , das stimmt doch, oder?

$\begin{eqnarray*} $xe^{cx}|_0^t- ...blabla.... \end{eqnarray*}$

Grüße,
Arcus Tangens

Da liegt schon der Fehler!
Es muß

$\begin{eqnarray*} u\cdot v \end{eqnarray*}$ sein
du hast aber da $\begin{eqnarray*} u\cdot v' \end{eqnarray*}$ stehen!

02.11.2007, 11:58

Arcus Tangens

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Hallo Derkoch,
aber ich dachte, daß die Stammfunktion einer e-Funktion wieder die e-Funktion sei?
Demzufolge wäre doch v'=v ?

Oder muß ich die e-Funktion separat mit der Substitutionsregel bearbeiten, damit ich deren Stammfunktion bekomme?

Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 12:51

derkoch

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Du beachtest hierbei die innere Ableitung nicht! das ist dein Fehler!

02.11.2007, 13:06

Arcus Tangens

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ich komm momentan lediglich so weit, daß ich nun rausgefunden hab, daß
wenn v'(x)= $\begin{eqnarray*} $e^{cx}$ \end{eqnarray*}$ , dann ist v(x)= $\begin{eqnarray*} $\dfrac{e^{cx}}{c}$ \end{eqnarray*}$
Aber selbst da ist es in der Aufgabe schonwieder anders, weil da steht $\begin{eqnarray*} $c^2$ \end{eqnarray*}$ im Nenner.
Was mach ich nun schon wieder verkehrt?
Und welche innere Ableitung meinst Du?

02.11.2007, 13:34

klarsoweit

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Nun rechne das doch mal damit und irgendwann werden wir auch auf das c² im Nenner stoßen. smile

02.11.2007, 13:39

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Integralregel
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}~dx~x e^{cx} = \frac{x}{c} e^{cx}-\int_{0}^{t}~dx ~\frac{xe^{cx}}{c} = e^{cx}(\frac{x}{c}-\frac{1}{c^{2}})=... \end{eqnarray*}$

02.11.2007, 13:41

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RE: Integralregel
sorry: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}~dx~x e^{cx} = \frac{x}{c} e^{cx}-\int_{0}^{t}~dx ~\frac{e^{cx}}{c} = e^{cx}(\frac{x}{c}-\frac{1}{c^{2}})=... \end{eqnarray*}$

02.11.2007, 13:43

Dual Space

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RE: Integralregel
@cf: Du bist Physiker, oder? Big Laugh

02.11.2007, 13:44

derkoch

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Toll daß du es kannst! unglücklich

Aber es wäre nett wenn du das hier vorher gelesen hättest!

02.11.2007, 14:26

Arcus Tangens

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RE: Integralregel
ah! jetzt!
Jetzt bin ich endlich aufgewacht. Jetzt hab ich gesehen, wie das $\begin{eqnarray*} $c^2$ \end{eqnarray*}$
zustande kommt. Ich habe die ganze Zeit vergessen zu integrieren bei $\begin{eqnarray*} $\int\limits_{x=0}^{t}\dfrac{e^{cx}}{c}dx$ \end{eqnarray*}$ , ich hab also nur für die Funktion $\begin{eqnarray*} $\dfrac{e^{cx}}{c}|_{x=0}^{t}$ \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Richtig wäre aber gewesen :
v(x)= $\begin{eqnarray*} $\dfrac{e^{cx}}{c}dx->V(x)=\dfrac{1}{c}\cdot \dfrac{e^{cx}}{c}=\dfrac{e^{cx}}{c\cdot c}=\dfrac{e^{cx}}{c^2} \end{eqnarray*}$ Also hierdurch kommt das zweite c im Nenner rein, also das $\begin{eqnarray*} $c^2$ \end{eqnarray*}$

Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 14:32

Arcus Tangens

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RE: Integralregel
und vielen Dank für eure Unterstützung.
Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 15:32

Arcus Tangens

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RE: Integralregel
Hallo nochmal,
jetzt bin ich zwar einen kleinen Schritt weiter gekommen, ich merke aber gerade, daß es zum richtigen Ergebnis doch noch etwas fehlt...
Ich hab aber gerade im Bronstein auf Seite 1081 bei Nummer 448. genau dieses Integral gefunden.

Könnt ihr mir da bitte noch weiterhelfen, wie ich da zum Ergebnis komme?

Ich stecke gerade hier fest:
$\begin{eqnarray*} $\dfrac{te^{ct}}{c}-\dfrac{e^{ct}}{c^2}-\dfrac{1}{c^2}=e^{ct}\left(\dfrac{t}{c}-\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{1}{c^2}$ \end{eqnarray*}$

Grüße,
Arcus Tangens

02.11.2007, 15:52

derkoch

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ich sehe da nirgendwo ein Integral? verwirrt

02.11.2007, 16:06

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Integralregel
... die boesen vorzeichen immer Augenzwinkern

02.11.2007, 23:14

Arcus Tangens

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RE: Integralregel
Hallo cf,
danke für deinen Hinweis, also so solls heißen:
$\begin{eqnarray*} $\dfrac{te^{ct}}{c}-\dfrac{e^{ct}}{c^2}+\dfrac{1}{c^2}$ \end{eqnarray*}$
Davon ausgehend hab ichs nun folgendermaßen fertig gebracht:
$\begin{eqnarray*} $\dfrac{1}{c^2}$ \end{eqnarray*}$ aus allen Nennern rausziehen:
= $\begin{eqnarray*} $\dfrac{1}{c^2}\left(cte^{ct}-e^{ct}+1\right)\\=\dfrac{1}{c^2}\left(1+e^{ct}(ct-1)\right)$ \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir bitte noch sagen, warum ich das $\begin{eqnarray*} $\dfrac{1}{c^2}$ \end{eqnarray*}$ aus allen Nennern rausziehen soll, also auch aus dem $\begin{eqnarray*} $\dfrac{te^{ct}}{c} \end{eqnarray*}$ , der ja nur ein c im Nenner hat? Evtl. damit ich den Bruch wegbekomme?
Mir wurde nur gesagt, daß ich es machen soll, aber nicht warum...

Grüße,
Arcus Tangens

03.11.2007, 14:58

derkoch

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Sag dir das Stichwort: Hauptnenner etwas? Augenzwinkern

03.11.2007, 18:47

Arcus Tangens

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Hallo Derkoch,
ja, mit deinem Hinweis darauf jetzt schon ;-)
Dankeschön.
Grüße,
Arcus Tangens

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Integralregel

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