Verteilungsfunktion und dichten

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion und dichten
Guten Tag,

ich habe hier folgende Aufgabe vor mir liegen:

Das Intervall wird in zwei Teile geteilt, indem im Intervall (rein zufällig, also mit Gleichverteilung) ein Punkt markiert wird. Dadurch entstehen zwei Teilintervalle mit den Längen L1 und L2, wobei . Es sei nun X die Zufallsvariable definert durch X= L1/ L2. Berechnen Sie Verteilungsfunktion und die Dichte von X.

Ich habe mir nun erstmal überlegt wie L1 und L2 von t abhängen, wenn t den zufälligen Punkt im Intervall [0,2] bezeichne, dann komme ich zu L1= x und L2= 4-x

Aber wie geht es jetzt weiter, die Definitonen von Verteilungsfunktion und Dichte sind mir bekannt. Aber wie wende ich das jetzt sinnvoll an. Ich komme mit den ganzen Begriffen X, f(t), F(x) etc. durcheinander. Kann mir da bitte jemand einen Tip geben.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Zufallsgröße vorliegen, daraus ergibt sich dann sowie und der Quotient . Du sollst nun die Verteilungsfunktion bestimmen.

Dann setz doch einfach ein:

Und jetzt versuche, die Ungleichung innerhalb äquivalent nach umzustellen, dann kannst du diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der bekannten Verteilungsfunktion der gleichverteilten Zufallsgröße darstellen.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tips, ich habe das jetzt gleich mal umgestellt und bekomme also heraus



Ich weiß jetzt leider nicht genau, was du mit "äuqivalent nach X umstellen" meinst! Habe ich das richtig interpretiert?

Die gleichverteilte Zufallsgröße X kann doch alle Werte im Intervall [0,2] mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen, aber wie bringe ich das jetzt in Einklang mit dem Rest?

Falls die Fragen trivial erscheinen, tut es mir leid, aber wir haben wirklich nur die Definitionen bekommen und jetzt so eine Aufgabe... unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, also haben wir

,

zumindest für .

Zitat:
Original von Fletcher
Die gleichverteilte Zufallsgröße X kann doch alle Werte im Intervall [0,2] mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen, aber wie bringe ich das jetzt in Einklang mit dem Rest?

Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung (siehe Wikipedia-Eintrag mit a=0 und b=2):



Davon habe ich gesprochen!
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das so:



Danke für die tipps! Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du dieselben Bezeichnungen wie ich verwendest, dann solltest du hier statt schreiben. Aber ansonsten stimmt es, wenngleich ich den Mittelteil noch kürzen würde:

Augenzwinkern

EDIT: ... Zu früh Ok gegeben: Die Fallbereiche stimmen nicht - der Mittelteil gilt nur für . unglücklich
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem kürzen sehe ich ein Augenzwinkern

Aber warum das jetzt nur noch für gilt, sehe ich gerade nicht!

Eine dumme Frage bleibt jetzt trotzdem noch: Wie komme ich von der Verteilungsfunktion zur Dichte? Bekomme ich diese indem ich den Mittelteil ableite?

MfG und vielen Dank
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Aber warum das jetzt nur noch für gilt, sehe ich gerade nicht!

Vorab: Wir betrachten nur , denn für gilt sowieso .

Du setzt nun den Wert in die Formel für ein. Der Mittelteil ist aber nur gültig für , also eingesetzt . Die linke Seite ist für offensichtlich erfüllt, die rechte Seite ergibt äquivalent umgestellt - alles klar?

Und wenn du mir trotzdem nicht glaubst, dann setz mal t=2 in deine Variante der Verteilungsfunktion ein:

. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Fletcher
Wie komme ich von der Verteilungsfunktion zur Dichte? Bekomme ich diese indem ich den Mittelteil ableite?

Ja - aber nicht nur den Mittelteil, auch die beiden anderen Teile. An den "Bruchstellen" zwischen den Fällen ist die Differenzierbarkeit zwar nicht gegeben, aber das macht nichts: Eine Dichte muss nur fast überall existieren - Hauptsache es gilt

,

d.h. ist die Integralfunktion der Dichte .
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse Antwort und das Beispiel mit 4/3 größer 1 war sehr anschaulich, jetzt hast du mich sogar ohne Zweifel überzeugt smile

Ich habe jetzt alles verstanden, und die Aufgabe lösen können. Vielen Dank nochmal

Schönen Gruß
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage habe ich jetzt doch noch beim nachvollziehen:

Welche Rolle übernimmt eigentlich die Variable t?


Für die Dichte habe ich nun: für das Intervall und Null überall sonst.
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