Untersuchung von Funktionsscharen

03.11.2007, 12:58

joeehhii

Untersuchung von Funktionsscharen

Gegeben ist die Funktionsschar fk mit $\begin{eqnarray*} fk(x) = (x^{2} - 1) \cdot (x - k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

a) Zeige, dass sich alle Funktionsgraphen in zwei Punkten schneiden.

Ich hab nicht wirklich eine Idee, wie ich an diese Aufgabenstellung angehen soll.

Soll ich 2 beliebe k in die Funktion einsetzen und diese dann gleichsetzen (das reicht dann aber nicht für alle, sondern nur für 2 Werte).

joehi

03.11.2007, 13:04

tigerbine

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RE: Untersuchung von Funktionsscharen
Genau dass. Wähle $\begin{eqnarray*} k_1, k_2 \end{eqnarray*}$ und bestimme die Schnittpunkte.

03.11.2007, 13:06

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} (x^{2} - 1) \cdot (x - k1) = (x^{2} - 1) \cdot (x - k2) \end{eqnarray*}$

So und nun ausmultiplizieren etc.

03.11.2007, 13:07

tigerbine

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NEIN. Bloß nicht ausmultiplizieren!

03.11.2007, 13:08

joeehhii

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Wäre das falsch oder komme ich anders viel einfacher auf die Lösung?

03.11.2007, 13:10

tigerbine

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Vanilla Sky
Ansage

Mach die Augen auf

$\begin{eqnarray*} f_{k_{1}}(x) \stackrel{!} = f_{k_{2}}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_1) = \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_2) \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 13:14

joeehhii

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Durch $\begin{eqnarray*} (x^{2} - 1) \end{eqnarray*}$ teilen?!

Also erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (x - k1) = (x - k2) \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 13:17

derkoch

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Zitat:

Original von joeehhii
Durch $\begin{eqnarray*} (x^{2} - 1) \end{eqnarray*}$ teilen?!

Hmm? Was mache ich bloß, wenn $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Fragen über Fragen!

03.11.2007, 13:18

tigerbine

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@der Koch: Wenn wir dann nicht mal eine Lebensmittelvergiftung haben. an x=-1 möchte ich gar nicht denken.... Kotzen

^^

@joeehhii:

Bringe mal alles auf eine Seite und klammer aus.

03.11.2007, 13:21

derkoch

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Zitat:

Original von tigerbine
@der Koch: Wenn wir dann nicht mal eine Lebensmittelvergiftung haben. an x=-1 möchte ich gar nicht denken.... Kotzen

Auch das noch! Tränen

Dabei koche ich doch sehr gut und verwende nur beste Zutaten. ROFL

03.11.2007, 13:23

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} (x - k1) = (x - k2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - k1) - (x - k2) = 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Wie soll ich denn so ausklammern? Ändert doch den Wert oder hab ich da was falsch verstanden?

03.11.2007, 13:24

tigerbine

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Off-topic

Zitat:

der Koch
Dabei koche ich doch sehr gut und verwende nur beste Zutaten.

Aha, Du bist also der Peter von Frosta ROFL

@hoeehhii:
Nö, das stimmt so nicht.Du musst schon zuhören. Von Kürzen hatten wir nichts gesagt. Bitte streng nach Rezept kochen. Augenzwinkern

03.11.2007, 13:25

joeehhii

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Also nochmal - sorry. Ich weiß nicht bis wohin das richtig war.
Ist folgender Ausdruck schon falsch?

$\begin{eqnarray*} (x - k1) = (x - k2) \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 13:26

tigerbine

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Ja, das ist schon falsch.

03.11.2007, 13:32

joeehhii

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Ok. Bis dahin also.

$\begin{eqnarray*} \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_1) = \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_2) \end{eqnarray*}$

Für x = 0 würde dann aber stehen, sofern man die Klammern ausmultiplizieren würde :

k1 = k2

Das war vorhin auch so ziemlich mein erster Gedanke. Wüsste sonst nicht, was ich mit dem $\begin{eqnarray*} x^{2} - 1 \end{eqnarray*}$ anstellen soll. Für x = 1 wäre diese Klammer dann jedoch 0 und ein Produkt ist ja immer dann Null wenn ein Faktor Null ist. Also ich meine $\begin{eqnarray*} (1-1) \cdot (x-k1) \end{eqnarray*}$ dann können doch auch erst die konstanten Faktoren in der ersten Klammer betrachtet werden?!

03.11.2007, 13:35

tigerbine

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Folge der Anleitung

Zitat:

Bringe mal alles auf eine Seite und klammer aus.

$\begin{eqnarray*} \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_1) = \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_1) - \underline{(x^{2} - 1)} \cdot (x - k_2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^{2} - 1) \cdot [ (x - k_1) - (x - k_2)] = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^{2} - 1) \cdot (k_2 - k_1) = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun noch die dritte binomische Formel. BTW unsere Scherze hatten einen ernsten Hintergrund. Augenzwinkern

03.11.2007, 13:42

joeehhii

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Hab ich mir auch iwie gedacht ^^

$\begin{eqnarray*} (x+1) \cdot (x-1) \cdot (k2 - k1) = 0 \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 13:46

tigerbine

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Mach endlich den Index richtig böse

k_1

Nun haben wir es ja endlich. Es gilt, da die Funktionen verschieden sind:

$\begin{eqnarray*} k_1 \neq k_2 \end{eqnarray*}$

Wie viele Schnittpunkte gibt es also?

03.11.2007, 13:49

joeehhii

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03.11.2007, 13:49

tigerbine

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Was zu beweisen war. Augenzwinkern

03.11.2007, 13:51

joeehhii

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Würde ich auch auf das Ergebnis kommen, wenn ich die Funktion am Anfang ausmultipliziert hätte?

03.11.2007, 13:52

tigerbine

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Sicher, aber es wäre unnötig kompliziert.

03.11.2007, 14:08

joeehhii

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Für b) heißt es weiter, dass k so bestimmt werden soll, dass der Graph von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ die 1. Achse berühren soll.

Da kann ich doch eigentlich das Ergebnis aus Aufgabenteil a) verwenden.
Bzw. die Ausgangsfunktion nach umschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - k) \end{eqnarray*}$

Geht das so?

03.11.2007, 14:19

tigerbine

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Klar kannst Du die Funktion so umschreiben. Freude

03.11.2007, 15:22

joeehhii

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Ist x dann 1 bzw. -1 ?

03.11.2007, 16:03

tigerbine

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Einfach nur Brocken hinknallen ist doch Mist. Ich habe keine Lust mir den Rest zusammenzuraten. Es ist doch nach k gefragt. Allgemein erkennt man aus der Funktionsgleichung, dass diese 3 Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. Nämlich bei

$\begin{eqnarray*} x_1=-1,~x_2=1,~x_3=k \end{eqnarray*}$

Dabei handelt es sich (auf den ersten Blick) um einfache Nullstellen. An solchen berührt der Graph aber nicht die x-Achse, sondern schneidet sie. Beispiel:

Wie muss man also k wählen, damit die Achse berührt wird?

03.11.2007, 16:13

joeehhii

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Ich weiß ja, was mit berühren gemeint ist.
Also eine Normalbarbel sprich $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ berührt die x-Achse.

Ich meine aber, da eine Funktion 3. Grades vorliegt, dies gar nicht möglich ist.
Für k=0 z.B. auch nicht!

03.11.2007, 16:18

tigerbine

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Wenn du alles schon weißt, warum fragst Du dann noch nach? geschockt

Zum anderen, lies doch bitte endlich einmal genau, was ich dir aufschreibe. Ich mach das doch nicht für mich. unglücklich

Funktion f(x)=x² hat wohl bei x=0 eine doppelte Nullstelle und berührt daher die x-Achse.

k ist hier frei wählbar, deine Wahl k=0 ist doch "sinnfrei", zumal die anderen Nullstellen x=-1 und x=1 lauten (was ich aber auch schon sagte).

Auch das der Grad der Funktion daran Schuld sein soll, dass es deiner Meinung nach keine Berührung geben ist ist Quatsch. Nimm die geplottete Funktion und verschiebe sie ein wenig nach "oben". Dann berührt sie auch die x-Achse.

Und nun noch einmal: Wie lauten die gesuchten Werte für k und die Begründung? Augenzwinkern

03.11.2007, 16:27

joeehhii

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Ich versuche mich zu bemühen und bin dir ja für deine Hilfe auch sehr dankbar.

Ich glaube, dass generell ein Missverständnis mit der Aufgabe vorliegt.
Du hast gesagt, ich soll die geplottete Funktion nach oben verschieben. Dann wird mir auch klar, dass die X-Achse berührt wird, jedoch wird die X-Achse dann dennoch in einem anderen Punkt geschnitten, oder sehe ich das falsch?

Im folgenden die geplottete Funktion:
Also habe ich eine Nullstelle, welche die X-Achse berührt, jedoch auch eine welche die X-Achse schneidet. Mir wird auch gerade klar, dass in der Aufgabenstellung gefordert wird : "Bestimme k so, dass der Graph von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ die 1.Achse berührt."
Aus diesem Grund reicht ja eine Verschiebung, da ja nicht zwangsläufig gefordert wird, dass jede Stelle die x-Achse berühren soll. Ich schau mir das jetzt nochmal in Ruhe an, bevor ich erneut "Mist" poste Augenzwinkern

03.11.2007, 16:37

tigerbine

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Augen auf beim Lesen. Das mit dem Verschieben bezog sich nur darauf, dass deine Annahme: Funkionen dritten Grades können nicht die x-Achse berühren" falsch ist. Ich habe nicht gesagt, dass das die Lösung dieser Aufgabe ist. Augenzwinkern

Und noch ein Tipp, warum schreibe ich manche Worte wohl fett? Eigentlich habe ich dir die Lösung(en) der Aufgabe schon längst genannt.

[Edit]
Es ist hier nicht möglich, dass die Funktion die x-Achse nicht schneidet, sprich nur berührt. Das ist korrekt. Aber einmal ist ein <<touchen>> schon möglich.^^

03.11.2007, 16:42

joeehhii

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Für k = 1 berührt die Funktion die x-Achse.
Begründund schreibe ich sofort, muss kurz weg.
Habe aber eine Idee in Bezug auf Teiler von 1.

03.11.2007, 16:46

tigerbine

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k=1
Puh, da haben wir ja endlich eine Lösung. Da ist wohl (x-1) eine doppelte Nullstelle. Wie könnten wir nur aus (x+1) eine doppelte Nst. Machen? Augenzwinkern

03.11.2007, 17:33

joeehhii

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Um noch einmal auf die Begründung zurückzukommen.

k = 1, also wäre die Funktion ausmultipliziert

$\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$
Teiler von 1 sind 1 und -1

1 ist eine Lösung.
Ebenso muss die Steigung in dieser Nullstelle 0 sein.
Also f'(1) = 0
Diese Bedingung wird auch erfüllt. Zusätzlich kam mir gerade der Gedanke, dass die Nullstelle, welche die x-Achse berührt, ein Extrempunkt ist.

Damit (x+1) eine doppelte Nullstelle wäre, müsste folglich zum einen eine Nst als auch ein Extrempunkt vorliegen.

03.11.2007, 19:51

tigerbine

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Ich verstehe nicht, warum Du es Dir so unnötig kompliziert machen willst. Die Funktion liegt schon in Linearfaktoren vor, da multipliziere ich doch nicht aus um dann über den konstanten Term wieder Nullstellen zu ermitteln. unglücklich

Weiter gilt, das bei gerader Vielfachheit einer Nullstelle ein Berührpunkt vorliegt, bei ungerader ein Schnittpunkt. Solltest du dieses nicht wissen, man kann es "leicht" zeigen. (-> Boardsuche)

Sicherlich muss hier auch gelten f'(x)=0, aber das reicht nicht aus. Vergleiche dazu f(x)=x³.

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