Basis von V

04.11.2007, 10:41

maria

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Basis von V

Hallo,

ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Seien
$\begin{eqnarray*} p1=T²+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p2= T3+T+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p3= T³+T²+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p4=T+1 \end{eqnarray*}$

1. Beweisen Sie, dass p1, p2, p3, p4 eine Basis von V ist
2. Sei q= T² + T. Welche pn, $\begin{eqnarray*} 1 \leq n \leq 4 \end{eqnarray*}$ können Sie durch q ersetzen, so dass die Polynome weiterhin eine Basis von V bilden?

so erstmal zu 1.: ich weiß, dass eine Basis vorhanden ist, wenn die Vektoren des Systems linear abhängig sind! nur wie beweise ich das hier?

bin dankbar für jede antwort

04.11.2007, 10:42

maria

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bei p2 soll das nicht T3 sein, sonder T³. da habe ich mich vertiptt

04.11.2007, 10:48

kiste

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Hallo,

ich vermute ihr habt bereits bewiesen das $\begin{eqnarray*} \{1,t,t^2,t^3\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des Vektorraums der Polynome mit grad <= 3 ist. Dann kannst du doch deine Polynome bezüglich dieser Basis darstellen.

Also $\begin{eqnarray*} p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Eine Basis ist es wenn diese Vektoren linear unabhängig sind, nicht linear abhängig!

04.11.2007, 10:56

maria

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Zitat:

Original von kiste
ich vermute ihr habt bereits bewiesen das $\begin{eqnarray*} \{1,t,t^2,t^3\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des Vektorraums der Polynome mit grad <= 3 ist.

nein, das haben wir noch nicht bewiesen. heißt das, dass ich das beweisen muss?

04.11.2007, 11:03

kiste

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Wenn du meine Variante anwenden willst ja, aber dann kannst du es auch gleich direkt zeigen.
Schaue dir dazu mal dieses Thema an: Lineare Unabhängigkeit bei Polynomen
Du musst im Prinzip genau dasselbe machen bloß das deine Polynome anders sind

04.11.2007, 11:06

maria

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hmmm

verwirrt

das verstehe ich nicht so ganz. vor allem verstehe ich nicht, wie du auf die vektoren für p1, p2, p3 und p4 gekommen bist?

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04.11.2007, 11:08

maria

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muss ich jetzt beweisen, dass
1, t, t² und t³ voneinander unabhängig sind?

04.11.2007, 11:13

maria

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also ich müsste die gleichung:

$\begin{eqnarray*} a1+a2 t+a3 t²+ a4 t³ = 0 \end{eqnarray*}$ lösen?

04.11.2007, 11:14

kiste

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Ich habe die Koeffizienten der Polynome in die Vektoren geschrieben.
Wenn du einmal meine Beiträge lesen würdest und dannach mehr als eine halbe Minute darüber nachdenkst würdest du sehen das da bereits alles steht.
D.h. entweder du zeigst das 1,t,t^2,t^3 linear unabhängig sind und zeigst dann das die Vektoren linear unabhängig sind oder du zeigst direkt das deine Polynome linear unabhängig sind.
Wie das geht ist in dem Link den ich dir gegeben habe beschrieben(beachte das dort implizit auch wieder benutzt wird das 1,t,t^2,t^3 linear unabhängig sind und das mit dem Verhalten der Polynome gegen unendlich bewiesen wird)

edit: ja wenn diese Gleichung nur $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=a_3=a_4=0 \end{eqnarray*}$ als Lösung hat sind die Polynome l.u.

04.11.2007, 11:14

maria

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ich meinte natürlich

$\begin{eqnarray*} (a1)+(a2) t+(a3) t²+ (a4) t³ = 0 \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 11:27

maria

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wie löse ich denn die gleichung:

$\begin{eqnarray*} (a1)+(a2) t+(a3) t²+ (a4) t³ = 0 \end{eqnarray*}$ ???? Forum Kloppe

Forum Kloppe

04.11.2007, 11:37

kiste

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Die 0 bedeutet ja nichts anderes als:
$\begin{eqnarray*} 0 + 0\cdot t + 0\cdot t^2 + 0\cdot t^3 \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du einen Koeffizientenvergleich machen.

Ich würde es übrigens sehr begrüssen wenn du die Beiträge einmal gründlich durchliest, wir geben hier Hilfe zur Selbsthilfe. Das bedeutet du musst selbst mitdenken!

04.11.2007, 11:47

maria

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ok, tut mir leid!

was meinst du denn mit koeffizientenvergleich? dass aus

0 * 1 + 0t+0t²+0t³ = 0

a1=a2=a3=a4=0 erfolgt? verwirrt

verwirrt

04.11.2007, 11:51

kiste

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http://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizientenvergleich
aber im Prinzip ja. Warum das so ist siehst du im Beitrag von Leopold in diesem Thema: Lineare Unabhängigkeit bei Polynomen

04.11.2007, 12:03

maria

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ist das so richtig?

$\begin{eqnarray*} (a1) t^{0} + (a2)t + (a3)t²+ (a4)t³ = 0 t^{0}+ 0t + 0t²+0t³ \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 12:05

kiste

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Ja warum den nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2007, 15:46

maria

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war mir nicht so sicher smile

smile

daraus ergibt sich dann a1=a2=a3=a4= 0 und somit sind die Polynome linear unabhängig.
da {1, t, t², t³} linear unabhängig ist, ist diese Menge eine Basis des Vektorraums der Polynome mit Grad kleiner gleich 3.
Kann ich das so stehen lassen als Beweis, dass die Polynome eine Basis von V sind???

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