Transitivität & Teilbarkeitsrelation

04.11.2007, 20:17

NufaN

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Transitivität & Teilbarkeitsrelation

Hallo Leute!

Hilfe... traurig

traurig

Anscheinend bin ich entweder zu blöd, um die Aufgaben zu lösen, oder die Aufgaben entsprechen einfach nicht den Dingen, die wir lernen (würde auch erklären, warum nach einem Monat bereits 1/5 aller Leute den Kurs bereits wieder verlassen hat... unglücklich

unglücklich

)

Und zwar bräuchte ich bitte Hilfe bei folgenden Aufgaben:

1) Zeigen Sie die Transitivität der Teilbarkeitsrelation: Falls a|b und b|c, dann a|c. Folgern Sie (mittels vollständiger Induktion) für n € N, dass falls ai | ai+1, für i = 1, ..., n, dann a1 | an+1. [Alles nach den Variablen a sollte tiefgestellt sein, kenn mich dafür hier im Forum aber leider noch zu wenig aus...].

2) Gilt für die Teilbarkeitsrelation (in N (bzw. Z)) die Antisymmetrie? Falls m|n und n|m, dann m=n. (Falls ja, beweisen Sie sie, falls nein, wiederlegen Sie sie.)

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe!

sG, NufaN

04.11.2007, 20:19

tmo

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fangen wir mal mit der ersten aufgabe an:

$\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} b = n\cdot a \end{eqnarray*}$

hilft das schon weiter?

04.11.2007, 20:30

NufaN

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Die Transitivität selbst versteh ich schon, nur hab ich in diesem Fall absolut keine Ahnung, wie ich da irgendwas mit Induktion beweisen soll... Hammer

Hammer

04.11.2007, 20:38

tmo

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also die transivität hast du schon bewiesen?

dann wendest du jetzt induktion an:

für n = 1 gilt die aussage offensichtlich.

nun gelte sie für n = k.

$\begin{eqnarray*} a_i | a_{i+1} \text{ für } i = 1,...,k \Rightarrow a_1 | a_{k+1} \end{eqnarray*}$

jetzt laufe i von 1 bis k+1, dann gilt zusätzlich noch
$\begin{eqnarray*} a_{k+1} | a_{k+2} \end{eqnarray*}$

was folgt daraus aus der transivität für die teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} a_{k+2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2007, 20:51

NufaN

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Hmm... Ich check überhaupt nichts... Erstaunt2

Erstaunt2

Nein, die Transitivität hab ich nicht bewiesen, ich versteh sie nur...

Hab ziemliche Probleme bei diesen komplett sinnlosen, absolut schwachsinnigen Beweisführungen...

Könntest du das bitte schrittweise erklären (inkluse Beweisführung für die Transitiviät)? Danke!

04.11.2007, 20:55

tmo

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Zitat:

Original von NufaN
Nein, die Transitivität hab ich nicht bewiesen, ich versteh sie nur...

dann tu dies doch mit dem hinweis, den ich dir in meinem ersten post gegeben habe. das ist wirklich in 2 schritten gemacht.

Zitat:

Original von NufaN
Hab ziemliche Probleme bei diesen komplett sinnlosen, absolut schwachsinnigen Beweisführungen...

dass du dabei probleme hast, ist nichts schlimmes. aber du musst doch nicht gleich so auf kriegsfuß mit der mathematik stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von NufaN
Könntest du das bitte schrittweise erklären (inkluse Beweisführung für die Transitiviät)? Danke!

nein. komplettlösungen gibt es hier nicht. siehe auch das Prinzip

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04.11.2007, 21:06

NufaN

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Na gut... Hier der versuchte Beweis, warum die Transitivität so toll funktioniert:

a|b -> a * n = b
b|c -> b * m = c -> b = c / m

Das umgeformte b setze ich nun in a ein ->
a * n = c / m -> a * n * m = c
=> a|c

Ist das der korrekte Beweis?! verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von NufaN
Hab ziemliche Probleme bei diesen komplett sinnlosen, absolut schwachsinnigen Beweisführungen...

dass du dabei probleme hast, ist nichts schlimmes. aber du musst doch nicht gleich so auf kriegsfuß mit der mathematik stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auch wenn es vielleicht so klingen mag, aber ich hab Mathe wirklich gerne. Nur hab ich halt so meine Differenzen mit den Beweisen...

Zitat:

Original von tmo
nein. komplettlösungen gibt es hier nicht. siehe auch das Prinzip

Learning by self-doing ist natürlich immer noch am effektivsten... Big Laugh

Big Laugh

04.11.2007, 21:12

tmo

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ja, der beweis ist so korrekt. Freude

Freude

jetzt zur induktion. ich hab dir ja oben schon erklärt wie du es mit induktion beweisen kannst, aber erstmal solltest du im klaren darüber sein, was
$\begin{eqnarray*} a_i | a_{i+1} \text { für } i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ bedeutet.
wenn zum beispiel n = 3 ist, dann bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} a_1 | a_2~ und~ a_2 | a_3 ~und~ a_3 | a_4 \end{eqnarray*}$
und daraus folgt dann aus 2-facher anwendung der transivität: $\begin{eqnarray*} a_1 | a_4 \end{eqnarray*}$

und um das für alle natürlichen n zu beweisen, benötigt man halt das prinzip der vollständigen induktion. hast du dieses denn verstanden?

04.11.2007, 21:44

NufaN

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Wenigstens mal ein kleiner Teil - danke! Big Laugh

Big Laugh

Ich bin mir im Klaren, was das genau bedeuten soll, und ich verstehe auch die vollständige Induktion - trotzdem komme ich auf kein Ergebnis...

1) Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} a_i * n | a_{i+1} \end{eqnarray*}$ [Induktionsvoraussetzung]

Für i = 1 erhält man
$\begin{eqnarray*} a_1 * n | a_2 \end{eqnarray*}$

Aussage ist wahr.

2) Induktionsschritt
Hypothese: Aussage gilt für i, also gilt sie auch für i+1.

Aber was nun?! Weil wenn ich das jetzt einsetze, dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} a_{i+1} * n | a_{i+2} \end{eqnarray*}$
Jetzt setze ich für $\begin{eqnarray*} a_{i+1} \end{eqnarray*}$ die IV ein, und erhalte
$\begin{eqnarray*} a_i * n * n | a_{i+2} \end{eqnarray*}$ .
Aber das ist ja komplett falsch, oder?! Hammer

Hammer

04.11.2007, 21:50

tmo

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ehm wie kommst du denn auf
$\begin{eqnarray*} a_i*n|a_{i+1} \end{eqnarray*}$ ?

das hat mit der aufgabe gar nichts zu tun.
ich habe dir doch vorher noch erklärt, was diese schreibweise bedeuten soll verwirrt

verwirrt

04.11.2007, 21:59

NufaN

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Das weiß ich selbst nicht so genau... unglücklich

unglücklich

Ich weiß, wie die Induktion funkioniert - nur bringt mir das nichts, wenn ich nicht weiß, was mein Induktionsanfang ist.

$\begin{eqnarray*} a_i * n = a_{i+1} \end{eqnarray*}$
So besser?

Bitte hilf mir auf die Sprünge! Gott

Gott

04.11.2007, 22:00

tmo

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dein induktionsanfang ist folgende aussage:

$\begin{eqnarray*} a_1|a_2 \Rightarrow a_1|a_2 \end{eqnarray*}$

offensichtlich wahr.

04.11.2007, 22:09

NufaN

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Hmmm...

$\begin{eqnarray*} a_i | a_{i+1} \end{eqnarray*}$ [IV]
Nun setze ich für i=i+1 ein:
$\begin{eqnarray*} a_{i+1} | a_{i+2} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a_{i+1} \end{eqnarray*}$ setze ich nun die IV ein
-> $\begin{eqnarray*} a_i | a_{i+2} \end{eqnarray*}$

Schaut auch nicht so toll aus... unglücklich

unglücklich

04.11.2007, 22:13

tmo

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für i einfach i+1 einsetzen ist der falsche weg, denn die induktion läuft über n, d.h. du setzt für n n+1 ein.

04.11.2007, 22:16

NufaN

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Aber da ändert sich ja auch nicht viel...

Also i=n
-> $\begin{eqnarray*} a_n | a_{n+1} \end{eqnarray*}$ [IV]
Nun setze ich für i=n+1 ein
-> $\begin{eqnarray*} a_{n+1} | a_{n+2} \end{eqnarray*}$
Und für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ wird wieder die IV eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} a_n | a_{n+2} \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 22:21

tmo

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du hast immer noch nicht die schreibweise $\begin{eqnarray*} a_i|a_{i+1} \text{ für } i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ verstanden und langsam gehen mir die ideen aus, es dir zu erklären unglücklich

unglücklich

schau dir vielleicht nochmal meinen 2ten post in diesem thread an und versuch das auf teufel komm raus zu verstehen.

sonst könnte vielleicht jemand übernehmen, der didaktisch begabter ist als ich Big Laugh

Big Laugh

04.11.2007, 23:04

NufaN

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Okay, hier kommt der letzte Versuch...

Also, $\begin{eqnarray*} a_i|a_{i+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,...,k \end{eqnarray*}$ ,
führt zu folgendem Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} a_1|a_{k+1} \end{eqnarray*}$ [Dies ist jetzt meine IV]

Nun wird für i=k+1 eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} a_{k+1}|a_{k+2} \end{eqnarray*}$
Für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ wird nun die IV eingesetzt
-> $\begin{eqnarray*} a_1|a_{k+2} \end{eqnarray*}$

Dies wird ein klein wenig umgebaut und führt zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} a_1|a_{(k+1)+1} \end{eqnarray*}$ .

An diesem Ergebnis erkennt man, dass die Hypothese nicht nur für k, sondern auch für k+1 gilt
=> $\begin{eqnarray*} a_1|a_{k+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1|a_{k+2} \end{eqnarray*}$

qed? Tanzen

Tanzen

Ich hoffe mal, dass das nun stimmt - habe mich auf Teufel

Teufel

komm raus auf deine Anleitung gehalten...

Und zweifle nicht an deinen didaktischen Fähigkeiten, sondern an meinen mathematischen... Big Laugh

Big Laugh

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