Vektorraum der Polynome

05.11.2007, 08:52

mathestudi

Vektorraum der Polynome

Hallo,

ich habe mal wieder ein paar für mich unlösbare Lineare Algebra Aufgaben.
Könnt ihr mir erklären, was ich da machen muss?!
Danke schonmal.

1) a) Zeige, dass der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[t] \end{eqnarray*}$ der Polynome höchstens n. Grades über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Dimension n+1 hat.

b) Überprüfe, dass $\begin{eqnarray*} U:={P\in \mathbb R_n[t]: P(0) = 0} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist, und bestimme seine Dimension.

c) Finde einen Unterraum $\begin{eqnarray*} \tilde U \subset \mathbb R_n[t] \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[t] = U \oplus \tilde U \end{eqnarray*}$ .

Ich eröffne für die anderen Aufgaben ein neues Thema, ist vielleicht einfacher.

05.11.2007, 09:22

klarsoweit

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RE: Vektorraum der Polynome
zu a: gib eine Basis mit n+1 Elementen an.

zu b: zeige, daß die Eigenschaften laut Definition eines Unterrraums vorliegen.

zu c: wie ist $\begin{eqnarray*} \tilde U \end{eqnarray*}$ definiert?

05.11.2007, 17:13

mathestudi

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RE: Vektorraum der Polynome

Zitat:

Original von klarsoweit
zu a: gib eine Basis mit n+1 Elementen an.

wie geht das?? ich habe wirklich gar keine ahnung

Zitat:

Original von klarsoweit
zu b: zeige, daß die Eigenschaften laut Definition eines Unterrraums vorliegen.

also prüfen, ob U abgeschlossen ist bezüglich Addition und Multiplikation mit Skalaren?!
So?:

$\begin{eqnarray*} \forall P,Q \in U: P+Q \in U: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \in U --> 0+0=0 \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall P \in U \forall \lambda \in \mathbb K: \lambda P \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \in U --> \lambda 0 = 0 \in U \end{eqnarray*}$

Außerdem liegt laut Definition das Nullpolynom in U, der Raum ist also nicht leer.

Zitat:

Original von klarsoweit
zu c: wie ist $\begin{eqnarray*} \tilde U \end{eqnarray*}$ definiert?

keine Ahnung was du meinst. vielleicht, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde U \end{eqnarray*}$ gleiche Eigenschaften habe, da sie beide ein Unterraum sind?

05.11.2007, 18:11

tmo

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gib z.b. mal einen basis des Vektorraum der Polynome höchstens 2ten grades an.
das kannst du dann leicht auf n-ten grades verallgemeinern.

zu b) ja genau das musst du prüfen.
allerdings hast du da glaube ich was missverstanden. um es mal anschaulich zu machen: U sind gerade alle polynome ohne absolutes glied.
zu zeigen, dass dies ein untervektorraum ist, ist nicht schwer, wenn du dir klarmachst wie die addition/skalarmultiplikation in diesem vektorraum definiert ist:
$\begin{eqnarray*} (P+Q)(t) = P(t) + Q(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda P)(t) = \lambda \cdot P(t) \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 18:22

mathestudi

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könntest du mir bitte mal genau erklären, was ich bei der aufgabe machen soll.

ich weiß mittlerweile gar nicht mehr, was ich überhaupt zeigen soll und wie ich das mache.

wäre vielleicht ganz gut, wenn wir mit teil a beginnen könnten.

danke!!!

05.11.2007, 18:56

tmo

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bei der a) musst du eine basis des vektorraumes der polynome höchstens n-ten grades angeben. wenn diese basis n+1 elemente enthält, ist bewiesen, dass der vektorraum die dimension n+1 hat.

dazu gibst du am besten erstmal (damit du das prinzip verstehst) eine basis des vektorraumes der polynome höchstens 2ten, 3ten oder 4ten grades und verallgemeinerst das dann.

05.11.2007, 19:28

mathestudi

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Zitat:

Original von tmo
bei der a) musst du eine basis des vektorraumes der polynome höchstens n-ten grades angeben. wenn diese basis n+1 elemente enthält, ist bewiesen, dass der vektorraum die dimension n+1 hat.

dazu gibst du am besten erstmal (damit du das prinzip verstehst) eine basis des vektorraumes der polynome höchstens 2ten, 3ten oder 4ten grades und verallgemeinerst das dann.

ich bekomme das nicht hin.

bitte mach doch mal wenigstens ein beispiel für 2ten oder 3ten grad!!

06.11.2007, 09:34

klarsoweit

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RE: Vektorraum der Polynome
Schreibe doch mal beispielhaft ein paar Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[t] \end{eqnarray*}$ (= Vektorraum der Polynome höchstens n. Grades) hin. Vielleicht bekommst du dann eine Idee, aus welchen Polynomen man diesen Vektorraum erzeugen kann.

Zitat:

Original von mathestudi

Zitat:

Original von klarsoweit
zu c: wie ist $\begin{eqnarray*} \tilde U \end{eqnarray*}$ definiert?

keine Ahnung was du meinst. vielleicht, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde U \end{eqnarray*}$ gleiche Eigenschaften habe, da sie beide ein Unterraum sind?

Ich hatte den Strich bzw. die Tilde über dem U mißverstanden. Ich dachte, das Zeichen hätte eine besonders definierte Bedeutung. Es ging aber nur darum, eine andere Bezeichnung zu haben, um den gesuchten Raum von dem Raum U abzugrenzen. Geschickter wäre es, wenn man da einen anderen Buchstaben (meinetwegen V) genommen hätte.

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