Erzeugendensystem & Basis

05.11.2007, 08:56

mathestudi

Erzeugendensystem & Basis

2) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (P_1,P_2,P_3,P_4) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem in dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R_2 [t] \end{eqnarray*}$ der Polynome höchstens 2. Grades über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bildet, wobei die Polynome $\begin{eqnarray*} P_1,P_2,P_3,P_4 \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} P_1(t):=t^2+t-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(t):=t^2-t+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_3(t):=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_4(t):=t+4 \end{eqnarray*}$

definiert sind.

Ist das System eigentlich eine Basis? Wenn nicht, wähle daraus eine Basis aus.

05.11.2007, 09:26

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem & Basis
Was bedeutet es denn, wenn eine Familie von Vektoren ein Erzeugendensystem sein soll? Was muß laut Definition gezeigt werden?

05.11.2007, 17:04

mathestudi

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kann ich hier so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4~{\lambda_i P_i(t)} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(t^2+t-1)+\lambda_2(t^2-t+1)+\lambda_3(t)+\lambda_4(t+4)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)t^2+(\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)t+(-\lambda_1+\lambda_2+4\lambda_4)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-\lambda_1+\lambda_2+4\lambda_4)=0 \end{eqnarray*}$

Löse ich das auf, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} a=2d, b=-2d, c=-5d \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich drei gleichungen für vier unbekannte habe.

oder setze ich schon ganz falsch an?

05.11.2007, 17:23

Angantyr

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Ja, das geht so und du hast damit die Frage, ob es eine Basis ist, schon beantwortet {Ich nehme an, du hast jetzt die verschiedenen Lambda durch a,b,c und d ersetzt}

Wenn du dir das Gleichungssystem und deine Lösung anschaust, dann kannst du für d irgendeine reelle Zahl einsetzen und daraus lassen sich a,b und c berechnen, also hast du dann eine nichttriviale Lösung und die Vektoren sind darum linear abhängig und bilden darum keine Basis.

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass du mit einer Linearkombination dieser 4 Vektoren jeden Punkt des Vektorraums darstellen kannst und wie gefragt, eine Basis auswählen.

05.11.2007, 17:37

mathestudi

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Zitat:

Original von Angantyr
Ja, das geht so und du hast damit die Frage, ob es eine Basis ist, schon beantwortet {Ich nehme an, du hast jetzt die verschiedenen Lambda durch a,b,c und d ersetzt}

ups. entschuldigung. ich hatte das gleichungssystem mit a b c d gelöst, war einfacher als mit lambda1-4.

Zitat:

Original von Angantyr
Wenn du dir das Gleichungssystem und deine Lösung anschaust, dann kannst du für d irgendeine reelle Zahl einsetzen und daraus lassen sich a,b und c berechnen, also hast du dann eine nichttriviale Lösung und die Vektoren sind darum linear abhängig und bilden darum keine Basis.

ok. stimmt. danke.

Zitat:

Original von Angantyr
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass du mit einer Linearkombination dieser 4 Vektoren jeden Punkt des Vektorraums darstellen kannst und wie gefragt, eine Basis auswählen.

und wie mache ich das??

05.11.2007, 17:58

mathestudi

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ich muss auch noch das mit den polynomen 2. grades zeigen.

dabei verstehe ich aber nicht, was damit gemeint ist.

05.11.2007, 18:22

Angantyr

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Ich versuch dir darauf Antwort zu geben, aber ich komme mit dem Latex überhaupt nicht klar Augenzwinkern

Ein Vektor (Polynom) des Vektorraums $\begin{eqnarray*} P_2[t] \end{eqnarray*}$ über den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ lässt sich darstellen als

$\begin{eqnarray*} b(t)=b_0 + b_1 t + b_2 t^2 \end{eqnarray*}$

Du möchtest ja jeden dieser Vektoren mit Linearkombinationen von einer gewissen Anzahl Vektoren die ein Erzeugendensystem bilden darstellen. Angenommen du hast 3 Vektoren

$\begin{eqnarray*} c=c_0 + c_1 t + c_2 t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=d_0 + d_1 t + d_2 t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e=e_0 + e_1 t + e_2 t^2 \end{eqnarray*}$

Und eine Linearkombination dieser 3 Vektoren soll jedes Polynom b darstellen, also:

$\begin{eqnarray*} b=\lambda_1 c+\lambda_2 d+\lambda_3 e \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 c_0 + \lambda_2 d_0 + \lambda_3 e_0 = b_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 c_1 + \lambda_2 d_1 + \lambda_3 e_1 = b_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 c_2 + \lambda_2 d_2 + \lambda_3 e_2 = b_2 \end{eqnarray*}$

Somit hast du ein lineares Gleichungssystem (Wann hat dieses System eine Lösung, was muss also erfüllt sein? Kann man so jedes Polynom darstellen? Was ist somit die Dimension? Wie musst du nun also die Basisvektoren aussuchen? Erfüllen die 4 Vektoren die gegeben sind das fast gleiche Gleichungssystem, sind sie erzeugend?)

Ich glaube, diese Fragen solltest du jetzt beantworten können.

Wie immer: Alle Angaben ohne Gewähr, ich bin selbst im ersten Semester.

05.11.2007, 18:51

mathestudi

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das mit latex sieht doch schon sehr gut aus! Freude

so, jetzt aber zu deiner antwort. danke, dass du dir so ausführlich zeit nimmst!

ich versuche aus allen posts eine komplette anwort zur aufgabe zu erstellen, da ich in deiner letzten antwort nur teilweise durchblicke. warum machst du das so allgemein? es sind doch 4 polynome gegeben.

__

zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (P_1,P_2,P_3,P_4) \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeugendensystem in dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R_2 [t] \end{eqnarray*}$ , der Polynome höchstens 2. Grades über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bildet.

Für ein Erzeugendensystem gilt, dass sich jeder Vektor aus dem Vektorraum als Linearkombinationen darstellen lässt. Die Polynome entsprechen den Spaltenvektoren. D.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4~{\lambda_i P_i(t)} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(t^2+t-1)+\lambda_2(t^2-t+1)+\lambda_3(t)+\lambda_4(t+4)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)t^2+(\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)t+(-\lambda_1+\lambda_2+4\lambda_4)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-\lambda_1+\lambda_2+4\lambda_4)=0 \end{eqnarray*}$

Aufgelöst (natürlich dann mit weiteren Zwischenschritten, die ich hier jetzt nicht explizit aufführe) ergibt das:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=2\lambda_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-2\lambda_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=-5\lambda_4 \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem besitzt eine nichttriviale Lösung, d.h. die Vektoren sind linear abhängig.
Daher ist das System auch keine Basis.

___

Das wäre meine Lösung der Aufgabe, so, wie ich sie jetzt aufschreiben würde, wenn von euch nicht noch ein veto kommt.

___

Es fehlt mir aber noch der letzte Teil der Aufgabe: eine Basis auszuwählen.
Ich habe da eine Idee. Stimmt das?:

Als Basis dieses Systems können die Polynome
$\begin{eqnarray*} P_3(t):=t \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P_4(t):=t+4 \end{eqnarray*}$
gewählt werden.

$\begin{eqnarray*} \lambda_3t+\lambda(t+4)=0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} t(\lambda_3 + \lambda_4) + 4 \lambda_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dieses Gleichungssystem:
I $\begin{eqnarray*} \lambda_3+\lambda_4=0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 4\lambda_4=0 \end{eqnarray*}$

aus II folgt: $\begin{eqnarray*} \lambda_4=0 \end{eqnarray*}$

eingesetzt in I ergibt: $\begin{eqnarray*} \lambda_3+0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

daher gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda_3=\lambda_4=0 \end{eqnarray*}$

Damit gibt es nur eine triviale Lösung, woraus folgt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, was wiederum Voraussetzung für eine Basis ist.

05.11.2007, 18:53

tmo

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das eine menge von vektoren linear unabhängig ist, ist vorraussetzung für eine basis, jedoch nicht hinreichend.

diese 2 polynome bilden nämlich keine basis der polynome höchstens 2ten grades, denn wie willst du $\begin{eqnarray*} P(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ damit bilden?

05.11.2007, 19:04

mathestudi

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ahhhhhhhhh!!!!

jetzt verzweifle ich ganz!

ich brauche doch morgen die lösungen zu den ganzen aufgaben!

bitte helft mir weiter. sonst schaffe ich das nie!

falls euch die lösungen zu dieser und den anderen 3 aufgaben

1
3
4

die ich hier noch gestellt habe klar sind. bitte bitte bitte sagt sie mir doch! auch wenn hier im board je eigentlich keine lösungen verraten werden sollten.
ich hab's ja versucht! bitte macht eine ausnahme!

sonst bekomme ich auf das übungsblatt morgen wieder keine punkte. und die bräuchte ich wirklich dringend!

ich versteh dieses thema (vektorräume, etc.) eben leider nicht wirklich. aber übernächste woche fangen wir was neues an, dann wird es hoffentlich auch besser.

also bitte helft mir!!!

DANKE!

05.11.2007, 19:50

mathestudi

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bitte bitte macht doch mal eine ausnahme und helft mir bei den lösungen!

es ist wirklich sehr sehr dringend und wichtig!

05.11.2007, 20:04

Angantyr

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RE: Erzeugendensystem & Basis
Du hast diese 4 Polynome gegeben.

$\begin{eqnarray*} P_1(t):=t^2+t-1 \end{eqnarray*}$ {weiter unten c genannt}

$\begin{eqnarray*} P_2(t):=t^2-t+1 \end{eqnarray*}$ {weiter unten d genannt}

$\begin{eqnarray*} P_3(t):=t \end{eqnarray*}$ {weiter unten e genannt}

$\begin{eqnarray*} P_4(t):=t+4 \end{eqnarray*}$ {weiter unten f genannt}

Die sind alle der Form $\begin{eqnarray*} a=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, kannst du mit Linearkombinationen davon ( ob es jetzt eine Basis ist oder nicht ist Wurst, erzeugend sollen die Vektoren sein, die Basis kannst du dir nachher noch überlegen) jedes Polynom $\begin{eqnarray*} b=b_0 + b_1 t + b_2 t^2 \end{eqnarray*}$ darstellen?

Betrachte noch einmal dieses Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 c_0 + \lambda_2 d_0 + \lambda_3 e_0 + \lambda_4 f_0 = b_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 c_1 + \lambda_2 d_1 + \lambda_3 e_1 + \lambda_4 f_1= b_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 c_2 + \lambda_2 d_2 + \lambda_3 e_2 + \lambda_4 f_2= b_2 \end{eqnarray*}$

Besitzt dieses Gleichungssystem für alle $\begin{eqnarray*} b_0, b_1, b_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Lösung? Wenn ja, kannst du mit einer Linearkombination dieser 4 Polynome jedes Polynom mit einem Grad von höchstens 2 darstellen, erzeugen.

[Korrigiert mich, falls das nicht stimmen würde]

06.11.2007, 10:22

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem & Basis
Also die vielen Bezeichnungen und Variablen bringen einen noch ins Grab. unglücklich

Im Grunde muß man doch nur zeigen, daß sich jedes beliebige Polynom a 2. Grades (also $\begin{eqnarray*} a(t)=a_2 t^2 + a_1 t + a_0 \end{eqnarray*}$ ) aus den Polynomen P_1, P_2, P_3 und P_4 linear kombinieren läßt. Dazu schreiben wir mal:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot P_1(t) + \lambda_2 \cdot P_2(t) + \lambda_3 \cdot P_3(t) + \lambda_4 \cdot P_4(t) = a_2 t^2 + a_1 t + a_0 \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Polynome und Koeffizientenvergleich liefert:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 = a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda_1 + \lambda_2 + 4\lambda_4 = a_0 \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, kann man ohne weiteres lambda_2 = 0 wählen und dann die restlichen Variablen bestimmen. Das liefert auch eine Idee, welches Polynom man weglassen kann, um zu einer Basis zu kommen.

Zitat:

Original von mathestudi
sonst bekomme ich auf das übungsblatt morgen wieder keine punkte. und die bräuchte ich wirklich dringend!

ich versteh dieses thema (vektorräume, etc.) eben leider nicht wirklich. aber übernächste woche fangen wir was neues an, dann wird es hoffentlich auch besser.

Du wirst von dem Thema auch nicht mehr verstehen, wenn man dir hier alles vorrechnet. (Und nebenbei wäre das auch eine Menge Arbeit.) Es ist deine Sache, daß du dich dahinter klemmst. Und dazu gehört auch, daß du dich ein paar Tage früher darum kümmerst. So ein Übungsblatt muß ja nicht in 2 Tagen gelöst werden, oder?

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