Vektoren zu Basis ergänzen

05.11.2007, 08:58

mathestudi

Vektoren zu Basis ergänzen

3) Ergänze die Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_1=(1,3,0)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=(3,1,0)^T \end{eqnarray*}$

zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

05.11.2007, 09:27

klarsoweit

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RE: Vektoren zu Basis ergänzen
Finde einen Vektor v_3, der zusammen mit den anderen beiden Vektoren eine Basis von R³ bildet.

05.11.2007, 16:52

mathestudi

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also ich würde einen vektor v3 als $\begin{eqnarray*} v_3=(0,0,1)^T \end{eqnarray*}$ definieren.

Voraussetzung dafür, dass die Vektoren eine Basis bilden ist, dass sie sich als Linearkombinationen darstellen lassen und linear unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0 \end{eqnarray*}$ (hier: Nullvektor)

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit würden sich dann folgende Gleichungen ergeben:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=\lambda_2=\lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

--> die drei Vektoren sind linear unabhängig und bilden somit eine Basis im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig und vollständig?

05.11.2007, 17:53

mathestudi

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stimmt meine lösung so?
fehlt noch was??

05.11.2007, 17:59

tigerbine

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Wenn Klarsoweit wieder da ist, wird er es Dir schon sagen.

DeinAufschribe ist unschön, da gerade der entscheidende Schritt

Zitat:

Aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=\lambda_2=\lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

nicht aufgeführt ist.

05.11.2007, 18:07

mathestudi

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ok, dann mache ich das etwas ausführlicher:

I $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

aus I folgt: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = - 3\lambda_2 \end{eqnarray*}$

eingesetzt in II ergibt: $\begin{eqnarray*} 3(- 3\lambda_2) + \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8 \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

eigesetzt in I: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 3 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \lambda_3=\lambda_2=\lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

so besser?
habe ich die aufgabe jetzt vollständig gelöst?

@tigerbine: es war nicht meine absicht, hier spam zu hinterlassen. ich wollte lediglich nochmal nachfragen, da ich dachte, meine frage sei vielleicht untergegangen, wenn die lösung so richtig sein sollte. tut mir leid, wenn das als spam rüberkam!

05.11.2007, 18:13

tmo

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ja die aufgabe ist damit gelöst, sofern du vorraussetzen darfst, dass der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die dimension 3 hat.

05.11.2007, 18:20

mathestudi

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denke, schon. das ist doch gerade eigenschaft des R^3, oder?

Ich setze das hiermit voraus Augenzwinkern

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