Basis und Vektorraum |
| 06.11.2007, 16:10 | Cidburner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Basis und Vektorraum Ich habe ein paar kleine leichte fragen zum thema basis und Vektorraum. Ich konnte krankheitsbedingt die letzte woche die vorlesungen und übungen nicht besuchen und nun steht mal wieder die übungsaufgabe vor der tür 
ok hier meine Fragen. 1. Gegeben seien zwei Unterräume U1 und U2 von R3 U1 = lin(2, 1, 0), (1 ,2 ,3), (1, 0, - 1)} dazu soll ich eine basis angeben ? heißt ich überprüfe ob die 3 vektoren lin unabh sind oder?. wenn das der fall ist , ist die basis dann die 3 vektoren? und U2 = {(x1,x2,x3) 2R3 | 2*x1 -1*x2 +3*x3 = 0}. dafür das gleiche problem . dafür suche ich dann xwerte für die die gleichung passt,aber die lin unab sind? bei der teilaufgabe u1 schnitt u2 ? weiß ich nicht ganz weiter. soll ich da die basis von u1 die ich gefunden habe in u2 einsetzen? 2. v1 = a + b +c , v2 = 2a +2b +2c -d , v3 = a -b -e , ich soll zeigen das v1 - v2 linab sind .. kann ich das einfach so in ein gauß system schreiben? macht das sinn? und 4. bräuchte ich noch einen rat 
bsp {(x1,x2,x3) 2R3 | x1 = 3x2}. ich soll eine basis angeben und beweisen das sie erzeugend und linunab ist. z.b 1 ,2 ,5 5, 10, 8 10 ,20 ,4 nachweiß einer basis erfolgt über das gaußsystem , aber wie weiße ich nach das sie erzeugend sind? danke schonmal im voraus
.. ist mal etwas mehr geworden,gruß cid |
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| 06.11.2007, 16:18 | trauriger-igel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, wenn du drei linear unabhängige Vektoren im R3 hast, spannen diese den Raum auf und bilden somit eine Basis. Es ist also eine mögliche Basis des R3. Die drei Einheitsvektoren wären zum Beispiel auch eine andere mögliche Basis des R3. |
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| 06.11.2007, 16:21 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
erstmal zur ersten aufgabe: U1: ja das ist der richtige ansatz. was machst du allerdings, falls deine rechnung ergeben sollte, dass die vektoren linear abhängig sind? zu U2: gib einfach mal eine lösungsmenge des homogenenen LGS: an. die basis kannst du dann einfach ablesen. zum schnitt: schneide die beiden mengen. erinnere dich einfach zurück an die schule wie ihr in der analytischen geometrie geraden oder ebenen (welche ja auch untervektorräume des R^3 sind, sofern sie durch den ursprung verlaufen) geschnitten habt. genauso kannst du hier auch die mengen schneiden. |
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| 06.11.2007, 16:23 | trauriger-igel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
lineare Unabhängigkeit reicht nicht, es muss auch noch jeder Vektor des zu erzeugenden Vektorraums durch die Vektoren des Erzeugendensystems linear kombiniert werden => Gleichungssystem |
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| 07.11.2007, 11:39 | Cidburner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke erstmal für die antworten. also wenn sich bei 1 ergibt, wie es der fall war, das die 3 vektoren lin ab sind und ich nach weißen kann das 2 von den vektoren nicht lin ab sind und ich mit diesen beiden den 3 darstellen kann habe ich meine basis , richtig soweit? zu dieser schnitt aufgabe, ich weiß noch ungefähr wie wir das gemacht haben , aber kann ich aus diesen 3 vektoren einfach eine ebene aufstellen mir fehlt doch ein punkt oder?. da komme ich noch nicht richtig weiter. es haben sich auch noch ein paar neue fragen ergeben
folgendes. 1.kann mir jmd eine antwort auf 2. geben (oben)
2.meine aufgabe lautet: (b) Wählen Sie alle möglichen Basen von U aus den Vektoren v1, . . . ,v5 aus und kombinieren Sie jeweils die restlichen Vektoren vi aus dieser Basis. v1-v5 sind gegeben , heißt das ich soll alle möglichen basen ermitteln und dann mit jeder basis angeben wie ich die anderen vektoren darstelle? ( die vektoren, v1-v5 sind nicht lin un , daher bestehen mehr möglichkeiten. und frage 2. 3.(b) {(x1,x2,x3,x4) e C4 | x1 + 3x2 + 2x4 = 0, 2x1 + x2 +x3 = 0} dazu soll ich eine basis angeben, diese sind aus dem c4 , kann mir da nix so recht vorstellen kann mir da mal jmd ein bsp sagen? bzw ich muss es ja noch nachweißen, kann ich komplexe zahlen dann einfach so im gauß system verarbeiten? gruß cid neuigkeiten, also ich habe so eben eine rundmail bekommen von unserem prof der uns einen hinweis schickte wie man eine basis über das gaus system bestimmt, nun bin ich völlig verwirrt :P mit diesem system finde ich für 1 wie angebgen die einheistvekotren als basis , ich habe aber zuvor ausgerechnet das bei 1. die vektoren lin ab sind. und somit daraus geschlossen das nur 2 vektoren benötigt werden. bzw 2 vekotren die basis bilden, das habe ich auch überprüft, mit den einheitsvektoren habe ich aber 3 . wo liegt mein denkfehler? nochmal gruß cid |
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| 07.11.2007, 16:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
puh das kann ich kaum entziffern. aber ich nehme an du meinst das richtige. du hast einfach einen vektor mit den 2 anderen dargestellt und diese 2 bilden dann letztendlich die basis.
hmm tut mir leid, ich habe dich mit den ebenen und geraden auf eine falsche fährte geführt nehme ich an. dies war nur zur anschauung gedacht. du sollst hier keine ebene aufstellen oder ähnliches. du hast 2 untervektorräume, die von je 2 vektoren aufgespannt werden. löse einfach das LGS wobei die vektoren u1 und u2 deinen ersten untervektorraum aufspannen und die vektoren v1 und v2 entsprechend den anderen. die schnittmenge erhältst du dann indem du z.b. die ergebnisse für und in den rechten ausdruck einsetzt. hast du denn mittlerweile die basis von U2 bestimmt? |
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| 08.11.2007, 08:59 | Cidburner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Huhu jo also eine basis konnte ich bestimmen von u2, das war auch in einer teilaufgabe gefragt, da waren parameter angegeben und so wie du es unten aufgeschrieben hast, habe ich es auch gelöst und bin auch auf schöne werte gekommen
danke dir ! |
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