Geradengleichung und abstände

06.11.2007, 18:55

Julien

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Geradengleichung und abstände

hi jungs,

folgende aufgabe:

Aufgabe
Gegeben sind die Geraden: g:x(vektor)=t(2,-1,3) und h:x(vektor)x(0,0,1)=(3,-2,0)

a) zeigen sie dass sich h und nicht schneiden und berechnen sie den abstand.
b)geben sie die koordinaten von X € g und Y € h an, deren abstand den Absrand von g und h annimmt

also das zweite x bei gerade h soll wohl das kreuzprodukt darstellen und ich frage mich wie daraus zwei brauchbare geradegleichungen rausbekomme, um den Abstand zu berechnen. Bei der geraden g ist der stütvektor vermutlich einfach (0,0,0) aber bei h habe ich kein parameter angegeben und das mit den kreuzprodukt verweirrt mich auch.

zu b) wie bekomme ich die punkte X und Y raus, wenn ich nur den Abstand ausgerechnet habe, wenn sie parallel sind dann könnten die pkt ja überall sein, weil der abstande zweier beliebigen pkt jeweils von einer geraden immer den gleichen abstand hätte und wenn sie windschief sind, dann muss ja das Y und X sein, wo die beiden geraden den kürzesten abstand haben, ur wie bekomme ich die pkt dann raus....thx4help

06.11.2007, 19:06

tmo

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wende doch einfach das kreuzprodukt auf der linken seite an und löse das entstehende LGS.

zu b) es ist $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_h} = 0 \end{eqnarray*}$ .

mit $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ meine ich die richtungsvektoren der jeweiligen geraden.

06.11.2007, 19:24

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
wende doch einfach das kreuzprodukt auf der linken seite an und löse das entstehende LGS.

zu b) es ist $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_h} = 0 \end{eqnarray*}$ .

mit $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ meine ich die richtungsvektoren der jeweiligen geraden.

gut aber dann hab ich aber immer noch kein parameter was ist mein richtungs vektor, dann? ich hab dann h : (x2,-x1,-x2)=(3,-2,0) raus aber wo ist mein richtungs und stützvektor und x(pfeil-vektor) hab ich jetzt durch das kreuzprodukt auch weggerechnet..!ß

zu b) naja es ist klar, dass die gerade senkrecht auf die beiden richtungsvektoren der geraden g und h steht, aber wie bekomm ich die einzelnen punkte von h und g raus, die den abstand bestimmen?

hier nochmal der anhang, es handelt sich um H3...

http://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/a5b0037041b8f77924a5346c39cf57d7.jpg

06.11.2007, 19:29

tmo

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es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ -x_1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 \\ -x_1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

dies ist ein LGS mit 3 variablen (x_3 steht zwar nicht da, ist aber trotzdem eine lösungsvariable). die zugehörige lösungsmenge ergibt eine parameterform für h.

edit: den vertauscher rückgängig gemacht.

06.11.2007, 19:46

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

dies ist ein LGS mit 3 variablen (x_3 steht zwar nicht da, ist aber trotzdem eine lösungsvariable). die zugehörige lösungsmenge ergibt eine parameterform für h.

komisch fürs vektorprodukt habe ich was anderes raus=(x2*1-x3*0;x3*0-x1*1;x1*0-x2*0)

nach deiner rechnung mit 2 unbekannten, wo habe ich dann meine geradengleichung? wie bekomm ich dennn meine lösungsmenge denn raus, sorry aber steh voll auf den schlauch...

06.11.2007, 19:49

tmo

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sry, ich hab mich oben verschrieben. denke dir x_2 und x_1 vertauscht.

zum LGS: es ist

$\begin{eqnarray*} x_2 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

welche werte kann $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ annehmen, damit diese 3 gleichungen erfüllt sind?

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06.11.2007, 20:23

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
sry, ich hab mich oben verschrieben. denke dir x_2 und x_1 vertauscht.

zum LGS: es ist

$\begin{eqnarray*} x_2 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

welche werte kann $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ annehmen, damit diese 3 gleichungen erfüllt sind?

ja x3=0 sein oder nicht? und forme ich das zu einer braucbaren geradengleichung dann um, habe sowas noch nie bearbeitet...

06.11.2007, 20:28

tmo

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und für $\begin{eqnarray*} x_3 = 5,34572 \end{eqnarray*}$ sind diese 3 gleichungen etwa nicht erfüllt?

06.11.2007, 20:41

Julien86

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verstehe nicht x3 ist doch sowieso nicht mehr berücksichtigt und ist 0

06.11.2007, 20:44

tmo

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wo liest du denn, dass $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

dass $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ nicht mehr berücksichtigt wird, stimmt, also kann x_3 alle reellen zahlen als wert annehmen.
du erhältst:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 + 0r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 3 + 0r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 + r \end{eqnarray*}$

gebe jetzt die parametergleichung für die gerade h an. sie steht eigentlich schon fast da.

06.11.2007, 20:52

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
wo liest du denn, dass $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

dass $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ nicht mehr berücksichtigt wird, stimmt, also kann x_3 alle reellen zahlen als wert annehmen.
du erhältst:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 + 0r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 3 + 0r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 + r \end{eqnarray*}$

gebe jetzt die parametergleichung für die gerade h an. sie steht eigentlich schon fast da.

aha ist h dann h: x(vektor)=(2,3,0)+r(0,0,1) ???

dann kurz zu

a) müsse klar sein
und zu b) wie bekomme ich die einzelnen Punkte raus wenn bei a) nur den abstand dieser beiden punkte ausgerechnet habe folglich??

06.11.2007, 20:55

tmo

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im ersten post habe ich ja u.a. geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$

den richtungsvektor von g kennst du ja, ist also kein problem.

nun ist $\begin{eqnarray*} \vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX} \end{eqnarray*}$

laut aufgabenstellung ist z.b. $\begin{eqnarray*} \vec{OX} \end{eqnarray*}$ in der gerade g enthalten. was kannst du also für $\begin{eqnarray*} \vec{OX} \end{eqnarray*}$ schreiben?

06.11.2007, 21:10

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
im ersten post habe ich ja u.a. geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$

den richtungsvektor von g kennst du ja, ist also kein problem.

nun ist $\begin{eqnarray*} \vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX} \end{eqnarray*}$

laut aufgabenstellung ist z.b. $\begin{eqnarray*} \vec{OX} \end{eqnarray*}$ in der gerade g enthalten. was kannst du also für $\begin{eqnarray*} \vec{OX} \end{eqnarray*}$ schreiben?

XY*rh=0 ist auch null!?

und OX=OY-XY

ist meine angeben parametergleichung für h denn richtig???

06.11.2007, 21:15

tmo

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deine parametergleichung für h ist richtig.

gebe mal einen ausdruck an, welcher die ortsvektoren aller punkt von g beschreibt.

06.11.2007, 21:36

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
deine parametergleichung für h ist richtig.

gebe mal einen ausdruck an, welcher die ortsvektoren aller punkt von g beschreibt.

ja alle pkt auf g sind ja praktisch richtungsvektoren, weil der ursprung ja (0,0,0) ist

06.11.2007, 21:41

tmo

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jetzt ist es an der zeit mal konkrete werte einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{OX} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf g
$\begin{eqnarray*} \vec{OY} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf h

setze einfach die parametergleichung der jeweiligen gerade ein.

06.11.2007, 21:53

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
jetzt ist es an der zeit mal konkrete werte einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{OX} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf g
$\begin{eqnarray*} \vec{OY} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf h

setze einfach die parametergleichung der jeweiligen gerade ein.

moment mal so wie ich das sehe sind die beiden geraden zu einander windschief, daher stellen auch X und Y der jeweiligen geraden den kürzesten abstand der zwei geraden dar unst somit gibt es nur ein bestimmtes X und Y

06.11.2007, 21:54

tmo

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ja aber erst muss man doch (wie so oft in der mathematik) allgemein ansetzen mit den 2 parametern.

du hast dann 2 unbekannte und 2 gleichungen (die aus meinem ersten post).

2 unbekannte, 2 gleichungen. kein problem, oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2007, 21:58

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
wende doch einfach das kreuzprodukt auf der linken seite an und löse das entstehende LGS.

zu b) es ist $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_h} = 0 \end{eqnarray*}$ .

mit $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ meine ich die richtungsvektoren der jeweiligen geraden.

diese gleichungen soll ich gleichsetzen??

aber ich kenn XY doch net dann habe ich ja mehrere unbekannte und nicht nur die 2 parameter

06.11.2007, 22:04

tmo

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nein, nichts gleichsetzen.

du hast die 2 gleichungen:

$\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_h} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ ist kein problem, kennen wir.
wenn du dich zurückerinnerst, hast du es nach minimaler hilfe meinerseits auch geschafft $\begin{eqnarray*} \vec{r_h} \end{eqnarray*}$ zubestimmen. kennen wir also auch.

nun habe ich dir erklärt, was du für $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \end{eqnarray*}$ einsetzen sollst.

tu dies doch bitte.

wende danach die koordinatenform des skalarprodukts an und löse das entstehende LGS mit 2 unbekannten und 2 gleichungen.

06.11.2007, 22:20

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
nein, nichts gleichsetzen.

du hast die 2 gleichungen:

$\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_g} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{XY} \cdot \vec{r_h} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{r_g} \end{eqnarray*}$ ist kein problem, kennen wir.
wenn du dich zurückerinnerst, hast du es nach minimaler hilfe meinerseits auch geschafft $\begin{eqnarray*} \vec{r_h} \end{eqnarray*}$ zubestimmen. kennen wir also auch.

nun habe ich dir erklärt, was du für $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \end{eqnarray*}$ einsetzen sollst.

tu dies doch bitte.

wende danach die koordinatenform des skalarprodukts an und löse das entstehende LGS mit 2 unbekannten und 2 gleichungen.

so alsp ich bekomm nur das heraus...ich weiß ja nur das XY=0Y-0X ist
(y1-x1;y2-x2;y3-x3)*s(2,-1,3)=0
(y1-x1;y2-x2;y3-x3)*r(0,0,1)=0

06.11.2007, 22:26

tmo

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ich habe dir doch gesagt, was du für OX und OY einsetzen sollst:

Zitat:

Original von tmo
jetzt ist es an der zeit mal konkrete werte einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{OX} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf g
$\begin{eqnarray*} \vec{OY} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf h

setze einfach die parametergleichung der jeweiligen gerade ein.

ich versuche dir zu helfen und im gegenzug gibst du dir mühe meine beiträge zu verstehen oder gibst mir wenigstens das gefühl, du würdest dir mühe geben, ok?. sonst macht das ganze mir nämlich kein spaß.

PS: der richtungsvektor ist übrigens nur der vektor selbst, der parameter davor fällt weg.

06.11.2007, 22:54

Julien86

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Zitat:

Original von tmo
ich habe dir doch gesagt, was du für OX und OY einsetzen sollst:

Zitat:

Original von tmo
jetzt ist es an der zeit mal konkrete werte einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{OX} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf g
$\begin{eqnarray*} \vec{OY} = \end{eqnarray*}$ einer von allen punkten auf h

setze einfach die parametergleichung der jeweiligen gerade ein.

ich versuche dir zu helfen und im gegenzug gibst du dir mühe meine beiträge zu verstehen oder gibst mir wenigstens das gefühl, du würdest dir mühe geben, ok?. sonst macht das ganze mir nämlich kein spaß.

PS: der richtungsvektor ist übrigens nur der vektor selbst, der parameter davor fällt weg.

hmmm das problem ist immer, das ich bei anderen gedankengängen immer meine probleme habe also nochmal:

OX(vektor)=g(x) <=>x1=2t v x2=-t v x3=3t so richtig nach der form

06.11.2007, 23:24

Julien86

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wäre nett wenn du mir eben den lösungsweg konkret aufschreibst, damit ich es wenigstens somit nachollziehen kannn...

07.11.2007, 17:49

Julien86

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so ich ahb einen neue lösungsansatz kann man nicht über den einheitsvektor einfach drankommen:

g(x)=h(x)+d(abstand)*(n0) also einheitsvektor, dann nach den parametr auflösen und in die geradengleichung einsetzen, dann hat man die jeweiligen pkt, richtig???

ich will nur hoffen, dass ich d*no zu richtigen gleichung addiert habe, wie erkenne ich das...

das man bei den punkt, wo sich beide "eigentlich schneiden" würde, wenn sie in einer ebene liegen würden, einfach mithilfe von abstand und einheitsvektor senkrecht nach oben geht, nur weiß ich nicht, ob ich nach unte oder nach oben gehen muss von der sicht der einen eben, also addiere oder subtrahiere ich ich von der geradengleichung...

aber denke der ansatz ist doch korrekktt??

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