Determinante und QR-Zerlegung [Hadamard-Ungleichung]

06.11.2007, 21:39	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante und QR-Zerlegung [Hadamard-Ungleichung] Guten Abend, ich habe hier folgendes zu zeigen: Sei $\begin{eqnarray} A = (a_{ij}) \in \mathbb R^{(n,n)} \end{eqnarray}$ . Zeige mit Hilfe der QR-Zerlegung, dass gilt: $\begin{eqnarray} \|det(A)\| \leq \prod_{j=1}^n~ \sqrt{ (\sum_{i=1}^n~\|a_{ij}\|^2 )} \end{eqnarray}$ Meine Idee: A besitze QR-Zerlegung, also gilt: $\begin{eqnarray} \|det(A)\| = \|det(QR)\|=\|det(Q)det(R)\|=\|\pm1\|~\|\prod_{j=1}^n~r_{jj}\| \end{eqnarray}$ Was meint ihr? Reicht das aus, oder bin ich total falsch? Wie geht es jetzt weiter? Sorry aber das andere war Mist!
06.11.2007, 21:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante und QR-Zerlegung Ist über A gesagt, dass sie eine QR Zerlegung besitzt? Aber der singuläre Fall wäre eh einfach gezeigt. Bis hierhin finde ich es gut: $\begin{eqnarray} \|\operatorname{det}(A)\| = \|\operatorname{det}(QR)\|=\|\operatorname{det}(Q)\operatorname{det}(R)\| = \end{eqnarray}$ Dann solltest Du erst allgemein aufspalten: $\begin{eqnarray} = \|\operatorname{det}(Q)\|\cdot \|\operatorname{det}(R)\| \end{eqnarray}$ Dann die Berechnungsregeln anwenden: $\begin{eqnarray} =\|\pm1\| \cdot \|\prod_{j=1}^n~r_{jj}\| = \|\prod_{j=1}^n~r_{jj}\| \end{eqnarray}$ Wie begründest Du die letzte Anschätzung. Vielleicht sehe ich es auch gerade nicht.
06.11.2007, 22:46	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe gerade gemerkt, dass die letzte Abschätzung totaler Müll und unbrauchbar ist. Ich meine die Determinante steckt schon in der Matrix R, allerdings stehen auf der Diagonalen von R nicht zwanghaft die gleichen Einträge wie bei A, also muss es schonmal anders weitergehen, und da hänge ich momentan selbst. Vielleicht hat ja jemand noch eine Idee!
06.11.2007, 23:13	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Hadamard-Ungleichung
06.11.2007, 23:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ans Navi. Hab das mal in den Titel aufgenommen
07.11.2007, 16:34	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt diese Abschätzung zu stande: $\begin{eqnarray} \|det(R)\| \leq \|\|r_1\|\|_2~...~\|\|r_n\|\|_2 \end{eqnarray}$ Das sie gilt, ist offentsichtilch, da R rechte obere Dreiecksmatrix und die Determinante sind ja normalerweise nur die Diagonaleinträge.
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07.11.2007, 16:56	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Diagonaleintrag wird gegen die Norm der zugehörigen Spalte abgeschätzt. Beispielsweise für die erste Spalte: $\begin{eqnarray} \|r_{11}\|=\\|(r_{11},0,...,0)^T\\|_2 \leq \\|(r_{11},r_{12},...,r_{1n})^T\\|_2=\\|r_1\\|_2 \end{eqnarray}$
07.11.2007, 17:56	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klasse, also wenn ich das so verwenden darf bin ich ja glücklich. Das ist ja auch mehr als offentsichtlich Vielen Dank.

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