Skalarprodukt

07.11.2007, 00:08

marci_

Skalarprodukt

aufgabe:

untersuchen sie, ob $\begin{eqnarray*} <f|g>_{[-1,1]} :=\int_{-1}^{1}~f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ ein skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <\cdot |\cdot >_{[-1,1]} \end{eqnarray*}$ auf Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert ist.

wie kann ich sowas untersuchen? bzw. was heißt die aufgabe genau?

danke, gruß marci

07.11.2007, 00:31

WebFritzi

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RE: Skalarprodukt

Zitat:

Original von marci_
Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

07.11.2007, 00:39

marci_

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Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ : Polynom $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

07.11.2007, 11:59

Gnu

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Ein Skalarprodukt ist eine hermitesche, positiv definite Sesquilinearform. Da wir hier im Reellen sind eine symmetrische, positiv definite Bilinearform. Diese Eigenschaften gilt es nachzuprüfen.

07.11.2007, 12:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von marci_
Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ : Polynom $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das ist eine superklare Definition. Vielen Dank... unglücklich

07.11.2007, 15:51

marci_

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@gnu: mit deinen angaben kann ich leider nichts anfangen...

@webfritzi: so stehts in der aufgabe, das thema ist für mich neu und ich weiß leider gerade nicht mehr dazu

07.11.2007, 17:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von marci_
@webfritzi: so stehts in der aufgabe, das thema ist für mich neu und ich weiß leider gerade nicht mehr dazu

Warst du denn nicht in der Vorlesung? Mit $\begin{eqnarray*} {\rm Pol}_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist garantiert die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten gemeint. Mit der Addition

$\begin{eqnarray*} (p + q)(x) := p(x) + q(x),\,x\in\mathbb{R},\, p,q\in{\rm Pol}_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und der Skalarmultiplikation

$\begin{eqnarray*} (\lambda p)(x) := \lambda p(x),\,x,\lambda\in\mathbb{R},\, p\in{\rm Pol}_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

wird $\begin{eqnarray*} ({\rm Pol}_\mathbb{R},+,\cdot) \end{eqnarray*}$ zu einem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Das sollst du in der anderen von dir geposteten Aufgabe beweisen.

07.11.2007, 19:02

Gnu

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RE: Skalarprodukt
Du musst folgendes nachprüfen und kannst dazu die hoffentlich aus einer Analysis 1 Vorlesung bekannten Eigenschaften des bestimmten Riemann-Integrals heranziehen.

$\begin{eqnarray*} 1. <f|g>=<g|f> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. <af+g|h> = a<f|h>+<g|h> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. <f|f> > 0 \forall f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <f|f> = 0 \Rightarrow f=0 \end{eqnarray*}$

07.11.2007, 22:36

marci_

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@web fritzi: dankeschön!

@gnu: wir haben mit LA angefangen...

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