Vektorraumaufgaben

07.11.2007, 10:34

batida

Vektorraumaufgaben

Hallo,
ich habe folgende aufgaben gestellt bekommen:

1) Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Sei V ein Vektorraum über IK so ist,
a) {x+y / x,y € V} = V
b) { $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * v / $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ € IK, v € V} = V
c) { $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * v / $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ € IK, v € V} = IK x V
--> hier ist a und b richtig

2) Sei n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1, dann besteht IR^n aus
a) n reellen zahlen
b) n-tupeln von vektoren (v1,.....,vn) mit vj € IR \forall j = 1,....,n
c) n-tupeln reeller zahlen
--> hier ist c richtig

3) Welche der folgenden Aussagen ist ein Vektorraumaxiom für einen vektorraum V über dem körper IK
a) für alle v,w € V und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ € IK gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *(v+w) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *v + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *w
b) für alle v € V und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ € IK gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *v) = ( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )*v
c) für alle v,w,z € V gilt: (v*w)*z = v*(w*z)
--> hier ist a und b richtig

4) Welche der folgenden teilmengen U von IR^2 ist ein untervektorraum:
a) U = {x= (x1,x2) € IR^2 / (x1)^2 + (x2)^2 = 1}
b) U = {x= (x1,x2) € IR^2 / (x1)^2 = (x2)^2}
c) U = {x= (x1,x2) € IR^2 / (x1)^2 = 0}

5) Welche der folgenden teilmengen U von IR^n ist ein untervektorraum:
a) U = {x= (x1,......,xn) € IR^n / x1 = xn}
b) U = {x= (x1,......,xn) € IR^n / (x1)^2 = xn}
c) U = {x= (x1,......,xn) € IR^n / x1 = 87}

6) Wieviele Untervektorräume hat IR^2?
a) zwei: {0} und IR^2
b) unendlich viele
c) vier: {0}, {0} x IR^2, IR^2 x {0}, IR^2
--> hier ist b richtig

bei der 4 und 5 komm ich einfach nicht weiter

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

07.11.2007, 10:53

klarsoweit

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RE: Vektorraumaufgaben
Überlege dir, was stimmen könnte (zeige da die Unterrraum-Eigenschaften) bzw. was nicht (gib da ein Gegenbeispiel an).

07.11.2007, 11:09

batida

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ok ich versuch es mal, aber hab da so meine probleme mit smile

ich fang mal ganz vorne an, die eigenschaften eines untervektorraums:
für x,y, € U gilt x + y € U
für x € U und lamda € IR gilt: x*lamda € U

bei der 4) würd ich sagen das c) richtig ist, weil 0 in jedem vektorraum bzw. untervektorraum auftritt
mich irritiert noch das IR^2 und IR^n

07.11.2007, 11:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von batida
bei der 4) würd ich sagen das c) richtig ist, weil 0 in jedem vektorraum bzw. untervektorraum auftritt

c) ist richtig, aber deine Begründung ist nicht ok. Welche Elemente (nenne mal Beispiele) gehören denn zu dem Unterraum?

Zitat:

Original von batida
mich irritiert noch das IR^2 und IR^n

Das ist doch jeweils nur der übergeordnete Vektorraum. Deine Unterräume (so es denn welche sind Augenzwinkern

) sind Teilmengen davon.

07.11.2007, 11:59

batida

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die elemente eines untervektorraums sind doch vektoren oder?
R^2 hat unendlich viele Untervektorräume, was ja in der 6. aufgabe auch gefragt wurde
der Nullvektor, die geraden die durch den nullpunkt gehen und sich selbst oder?
wie wende ich das jetzt auf die aufgabe an?
sorry ich was krank und denk ma nich so aufnahmefähig unglücklich

falls ich also was länger brauche tuts mir leid

07.11.2007, 12:16

klarsoweit

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RE: Vektorraumaufgaben

Zitat:

Original von batida
c) U = {x= (x1,x2) € IR^2 / (x1)^2 = 0}

Krank hin oder her. Du bist aber bestimmt in der Lage, einfach mal ein paar Elemente dieser Menge U konkret zu nennen.

07.11.2007, 12:42

WebFritzi

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Zu 4) Mach dir klar, wie die einzelnen Mengen ueberhaupt aussehen und dass ein Untervektorraum des IR^2 entweder der IR^2 selber, eine Gerade durch den Nullpunkt oder die Menge, die einzig und allein aus dem Nullpunkt besteht, sein kann.

01.12.2008, 23:20

Thaser

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Guten Abend, sorry fürs Rauskramen...

.. aber ich stecke mitten in den Klausurvorbereitungen und ich wollte mal fragen, ob es sich hierbei 4b) U = {x= (x1,x2) € IR^2 / (x1)^2 = (x2)^2} nicht auch um einen Untervektorraum handelt??

Ich habe meiner Meinung nach die Kriterien erfüllt, aber könnte auch falsch sein?

Danke.

02.12.2008, 00:05

Reksilat

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Da hast Du Dich vertan, denn es ist z.B. $\begin{eqnarray*} (1,-1)\in U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (1,1)\in U \end{eqnarray*}$ aber die Summe der beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} (2,0)\not\in U \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 00:12

Thaser

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tja, mein leben geht den bach runter...

man kann mir nicht mehr helfen. Trotzdem danke.

02.12.2008, 00:19

Thaser

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gibt es denn eventuell ne "feste" Definition was alles Unterräume vom R3 sind?

sowas wie: 0-Vektor, Gerade durch 0 etc.?? (habe ich mal aufgeschnappt)

Habe die starke Vermutung, dass es sich um eine R3-Aufgabe handeln wird. Vll könnte man somit schonmal ohne größere Suche nach Gegenbeispielen sagen, ob es ein Untervektorraum ist oder nicht?

Vielen Dank.

02.12.2008, 00:42

Reksilat

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Ganz habe ich Dich nicht verstanden, aber zumeist ist es so, dass man bei linearen Bedingungen wie bei 5a) eher einen Unterraum hat und wenn in den Bedingungen höhere Potenzen oder sonstige Funktionen auftauchen dann ist es wahrscheinlicher, dass die Menge kein Unterraum ist. Natürlich ohne Garantie, nachprüfen muss man das trotzdem.

Achso: Richtig, Geraden und Ebenen durch den Nullpunkt sind im R³ Unterräume.

Gute Nacht! Tanzen

02.12.2008, 13:49

WebFritzi

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Alle möglichen Unterräume des IR³:

- Die Menge, die nur aus dem Nullpunkt besteht,
- Geraden durch den Nullpunkt,
- Ebenen durch den Nullpunkt,
- Der ganze IR³.

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