basen

07.11.2007, 11:53

trible H

Vektorraum /unterraum/basen

V ist Vektorraum M22(K) über K. Beispiele angebem und begründen.
1.Unterraum U von V der Dimension 2 und drei Matrizen A1,A2,A3 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U,
so dass A1, A2 und A1, A3 und A2, A3 Basen von U sind.

2.eine Basis A1,A2 A3,A4 von V und eine Matrix X in V, sodass X,A2 A3,A4 und A1, X, A3,A4 und A1,A2,X,A4 und A1,A2,A3,X Basen von V sind.

3.zwei Unterräume U1,U2 von V der Dimension 2, sodass U1+U2 die Dimension 3 hat

4.eine Basis von V, die nicht die Standartbasis ist

5.eine lineare Abbildung f: V $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ mit Rang(f) =3
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Ich habe es einmal versucht und will eigentlich wissen ob das soweit richtig ist. und ob die begründung richtig ist.
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zu 1:
$\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann habe ich
$\begin{eqnarray*} A1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},A2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , A3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gewählt, denn A1,A2,A3 sind linear unabhängig()jeweils von 0 verschieden und da $\begin{eqnarray*} A1+A2\neq U, A1+A3\neq U, A2+A3\neq U \end{eqnarray*}$ sind, sind A1,A2,A3 Basen von U.

Zu 2. wenn $\begin{eqnarray*} X= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , A1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} ,A2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, A3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, A4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann ist die Addition der jeweiligen Matrizen ungleich V

Zu 3.
$\begin{eqnarray*} U1=U2= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Begründung fehlt...

zu 4:
$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
begründung fehlt.

zu 5.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Begründung fehlt

---So bin ich soweit richtig oder komplett falsch??? ansätze zur hilfe...?

07.11.2007, 12:34

klarsoweit

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RE: Vektorraum /unterraum/basen
Hier läuft ja etliches schief. unglücklich

Zitat:

Original von trible H
zu 1:
$\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann habe ich

U soll ein Unterraum (mit Dimension 2 sein) sein und keine Matrix.

Zitat:

Original von trible H
Zu 2. wenn $\begin{eqnarray*} X= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

Der Null-Vektor kann niemals Element einer Basis sein.

Zitat:

Original von trible H
Zu 3.
$\begin{eqnarray*} U1=U2= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Begründung fehlt...

Wenn du U1 bzw. U2 so wählst, dann haben die nicht die Dimension 2 wie in der Aufgabe gefordert.

Zitat:

Original von trible H
zu 4:
$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
begründung fehlt.

Das ist keine Basis, sondern allenfalls ein Element einer Basis. Du brauchst da noch 3 weitere Elemente.

08.11.2007, 10:27

trible H

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Ok 1. habe ich verstanden.
..
zu 2. $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , A1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, A2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, A3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, A4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

könnte das richtig sein?

Zu 4.
$\begin{eqnarray*} A1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, A2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, A3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, A4=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

denn A4 = A1+A2+A3, alos ein vielfaches...

Ist das richtig?

Zu 5.
fällt mir nichts ein..eone lineare abbildung vom Rang(3)- kann das denn richtig sein was da steht?

08.11.2007, 10:51

klarsoweit

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zu 1: dann schreib mal deine Lösung hin.

zu 2: ist ok. Bitte vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode

Zu 4: Wie erzeugst du mit deinen Matrizen die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Obendrein kann ein Vektor nicht zur Basis gehören, wenn er sich aus den anderen basisvektoren erzeugen läßt. Anscheinend hast du das Thema noch nicht wirklich verstanden.

Zu 5: Der Vektorraum V hast die Dimension 4. Was muß also die Abbildung f mit einem Basisvektor machen, damit diese den Rang 3 hat?

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