Vollständigkeits Axiom

Neue Frage »

gabbo Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeits Axiom
hallo,
meine aufgabe.

wie kann man aus der dezimaldarstellung einer reellen zahl entnehmen, ob sie rational oder irrational ist?

so, jetzt aber erstmal nen text aus meinem buch, mit dem ich arbeiten muss.



-die zahl, die als obere grenze in frage käme, wäre die irrationale zahl , die aber bekanntlich ken element von ist. >>>so, bis hierhin komme ich noch mit kann nicht als bruch dargestellt werden und kann so auch nicht zur menge gehören.<<<
-es sind jedoch obere schranken von M angebbar; die sind alle alle rationalen zahlen grösser als .
>>>wofür obere schranken, wenn 2 die obere grenze ist. die menge M ist doch auf 2 begrenzt, man braucht doch keine zahl die grösser als 2 ist.???????<<<

so, M hat in obere schranken, aber keine obere grenze.
die einzige zahlenmenge die beinhaltet, ist.


jetzt zu meiner aufgabe,
wie kann man aus der dezimaldarstellung einer reellen zahl entnehmen, ob sie rational oder irrational ist?

als reelle zahl nehme ich mal 1,478 und 1,5.

diese beiden zahlen muss ich jetzt irgendwie so darstellen, daß ich den beweis habe, das 1,478 nur in zu finden ist und 1,5=3/2 in und .
nur wie?????



verwirrt
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Endliche Dezimalbrueche sind immer rational. (also Element Q)
Auch alle unendlichen, periodischen Dezimalbrueche sind rational.

Falls die Dezimaldarstellung unendlich und unperiodisch ist, so ist die Zahl irrational.

Bei deiner Aufgabe geht es darum, dass man fuer M in Q kein Supremum findet. In der Tat ist R der einzige Koerper indem beschraenkte Mengen stehts ein Supremum haben. Dieses Supremumsaxiom ist aequivalent zum Vollstaendingkeitsaxiom.

lg
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja stimmt.


verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeits Axiom
Zitat:
Original von gabbo
>>>wofür obere schranken, wenn 2 die obere grenze ist. die menge M ist doch auf 2 begrenzt, man braucht doch keine zahl die grösser als 2 ist.???????<<<


Verwechsle hier nicht, dass in der Eigenschaft x² <= 2 steht!

air
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich da nur Wiederholen:

Eine obere Schranke gibt es in Q natürlich, und diese kann 2 sein, oder 5 oder auch 100. Entscheident ist, das keine kleinste obere Schranke existiert, was ja nach Definition eben genau das Supremum ist.
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

naja, bevor ich meine aufgabe lösen kann, muss ich erst nen paar sachen verstehehn.

also, da ist satz 2:
die menge N hat keine obere schranke.

also, ich sag mal M=[3,4,5,....,9], somit ist doch 9 die obere grenze und 10,20,639.. sind obere schranken.

und weil N ein teil von R ist gilt das auch für die reellen zahlen.

und was ich da als beweis sehe, macht keinen sinn (für mich!!!), wie soll ich das verstehen
nun, ich soll die megen betrachten, wobei g ein element von R ist. ( warum auch immer???????)

jetzt gibt es bei g-1 eine natürliche zahl n, so wie, 1,24...2,24, dann ist es die 2. und was ist wenn ich für g eine natürliche zahl verwende 2....3, dann habe ich keine natürliche zahl.
kann mirBITTE irgendwer (und bitte mit verständlicher ausdrucksweise) erklären was da überhaupt los ist!!!!!!!!

das gleiche problem hab ich auch mit satz: 3,4,5.


verwirrt
 
 
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

hallo??

verwirrt
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus

Auch alle unendlichen, periodischen Dezimalbrueche sind rational.




stimmt, also hat das was ich da zu beschreiben versuche überhauptnichts mit meiner aufgabe zu tun.

aber das zeug muss ich trotzdem verstehen.
also, n als element von N und g als element von R. sollen alle beweise in R erstellt werden???



n kleiner oder grösser g, ich nehme mal gleich, dann ist n=1 und g=1.



jetzt soll zwischen g-1 eine natürliche zahl liegen.



aber g-1=0 und zwischen 0 und 1 gibt es keine natürliche zahl.
ich gehe mal davon aus, daß g keine natürliche zahl sein darf?????????
oder kann ich für noch die 1 nehmen, was bedeutet, daß .

verwirrt
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

so, ok,
hier steht, nun wird die reelle zahl g-1...bla bla.., g mus also eine reelle zahl sein.
was mich nun verwirrt ist, daß die menge der reellen zahlen eigentlich alle zahlen von N bis Q beinhaltet, so kann doch eine reelle zahl alles mögliche sein 1,2,34, pi, wurzel 2,..... , ??oder nur die irrationalen zahlen??

verwirrt
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn hier keiner antworten will, dann bitte diesen beitrag löschen!!!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe im Moment dein Problem nicht. Worum geht es dir ?

Grüße Abakus smile
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

nocheinmal von vorne,

satz 2: die menge N hat keine obere schranke.

das vollständikkeitsaxiom gilt für die "vollständigkeit der reellen zahlen", also nur für R.
so kann man auch schreiben, die menge N hat keine obere schranke in R. oder?
jetzt zu dem wort obere schranke, was ist gemeint die kleinste obere schranke, oder alle oberen schranken, muss man mal deutlicher definieren.
für mich ist eine menge N, eine menge, die zahlen der menge N beinhaltet, M=[3,4,5,6,7]. das supremum von M ist 7 und alle oberen schranken sind 8,9,10,11........123....

jetzt der beweis aus meinem buch.(in dem der beweis ohne zahlenbeispiel erfolgt)

n=element von N =2
g=element von R =pi=3,14

..............

...............

................

somit kann nicht jede reelle zahl ein supremum sein, das würde ja aussagen das jedes element einer menge als obere grenzen gelten muss.
somit kann die menge aller primzahlen z.b. nicht mit Z,N,Q,R, angegeben werden, weil man keine zahl einer gegebenen menge überspringen, b.z.w auslassen darf.


verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gabbo
nocheinmal von vorne,

satz 2: die menge N hat keine obere schranke.

das vollständikkeitsaxiom gilt für die "vollständigkeit der reellen zahlen", also nur für R.


Nicht nur für , aber richtig, ist vollständig.


Zitat:
so kann man auch schreiben, die menge N hat keine obere schranke in R. oder?


Kannst du schreiben, aber mit der Vollständigkeit hat diese Aussage nichts zu tun.


Zitat:
jetzt zu dem wort obere schranke, was ist gemeint die kleinste obere schranke, oder alle oberen schranken, muss man mal deutlicher definieren.


Eine obere Schranke meint irgendeine obere Schranke. Wichtig ist nur, dass sie "drüber" liegt. Die kleinste obere Schranke heißt das Infimum. Dieses existiert nicht immer.


Zitat:
für mich ist eine menge N, eine menge, die zahlen der menge N beinhaltet, M=[3,4,5,6,7]. das supremum von M ist 7 und alle oberen schranken sind 8,9,10,11........123....


Du meinst ? Hier betrachtest du alle oberen Schranken in , ok.


Zitat:
jetzt der beweis aus meinem buch.(in dem der beweis ohne zahlenbeispiel erfolgt)

n=element von N =2
g=element von R =pi=3,14

..............

...............

................


Den Sinn dieser Zeilen sehe ich nicht, du reihst nur Ungleichungen aneinander.


Zitat:
somit kann nicht jede reelle zahl ein supremum sein, das würde ja aussagen das jedes element einer menge als obere grenzen gelten muss.


Ein Supremum von was ? Jede reelle Zahl ist sicher Supremum des Intervalls , aber das meinst du nicht ?


Zitat:

somit kann die menge aller primzahlen z.b. nicht mit Z,N,Q,R, angegeben werden, weil man keine zahl einer gegebenen menge überspringen, b.z.w auslassen darf.


verwirrt


ist eine echte Obermenge der Menge der Primzahlen, ja.

Grüße Abakus smile
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

ich hoffe man kann es lesen, auf der seite davor steht der satz 2: die menge N hat keine obere schranke.
was mir satz 3 sagen soll weiss ich auch nicht!
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

OK, du versuchst also Satz 2 und Satz 3 in diesem Buch zu verstehen dann ?

Zu einem Beweis gehört natürlich der ganze Argumentationsfluß und nicht nur die Gleichungen. Bei Satz 2 wird die Vollständigkeit benutzt, daher sollte diese auch vorher erklärt sein:

Vollständigkeitsaxion von (alle folgenden Bedingungen sind äquivalent):

- Jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum.

- Jede nach unten beschränkte Teilmenge besitzt ein Infimum.

- Jede beschränkte Teilmenge besitzt sowohl Infimum als auch Supremum.

Dies wird benutzt im Beweis, um die Existenz einer kleinsten oberen Schranke zu folgern.

Grüße Abakus smile
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

also um ehrlich zu sein, ich komme damit überhaupt nicht zurecht.
ich habe jetzt mal ein paar seiten weiter gelesen und ich verstehe überhauptnichts.
wie soll ich denn solche komplizierten beweise erstellen, gibt es feste formeln, oder wo drauf basiert das alles??
wendet man sowas überhaupt an, oder hat das mal jemand erfunden um zu beweisen, das daß was wir mit all unseren zahlen anstellen richtig ist und ich muss das jetzt lernen damit ich es mal gesehen habe und mitreden kann??
es steht irgendwo auch noch das diese beweisverfahren für die integralrechnung bedeutung haben. unglücklich das kann ja noch finster werden.


auf dem bild steht log 2 ist rational, für mich auch, denn log10 ² ist 0,30103 und als bruch darstellbar 30103/100.000. aber wie soll man auf so eine formel als beweis kommen??

verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gabbo
auf dem bild steht log 2 ist rational, für mich auch, denn log10 ² ist 0,30103 und als bruch darstellbar 30103/100.000. aber wie soll man auf so eine formel als beweis kommen??verwirrt


Im Kontext steht "... die negierte Behauptung lautet...". Diese ist eine Annahme für den folgenden indirekten Beweis, in dem ein Widerspruch gefolgert wird.

Es steht da schon richtig nach Satz 6, dass log 2 irrational ist.

Siehe dazu auch hier: indirekter Beweis (Wiki).

Grüße Abakus smile
gabbo Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer hätte garnicht so auf den putz hauen müssen.

jetzt bin ich beim peanoschem axiomssystem angekommen, da wird einiges klar.

prämisse
prämisse
modus ponsens
prämisse
mosus ponsens

und lösung zwei mit kettenschluss.


Big Laugh mal sehen wie weit ich komme!!!!!!!

verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »