Lösung einer DGL mit Lie

16.04.2005, 14:02	davethekilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung einer DGL mit Lie hallo ihr da draußen ich soll eine differentialgleichung für den freien fall mit der berücksichtigung des Luftwiderstandes NUMERISCH (!) berechnen. DGL lautet : $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}z }{dt^{2}} = -g + q (\frac{dz}{dt})^{2} \end{eqnarray}$ Luftwiderstand: w=qv^2 Anfangsbedingungen: t=0, z=h, dz/dt=v=0 Man soll mit einer Lie reihe bis zur sechsten Ordnung in t integrieren. so und jetzt?? also ich habe die DGL 2ter Ordnung schon mal in 2 DGL erster Ordnung gesplittet. und dann? bitte um hilfe
17.04.2005, 12:52	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
ich nehme mal an, dass du die Lösung schon hast, deshalb würde ich mein Ergebnis mal vergleichen. $\begin{eqnarray} z(t)=h-\frac{g}{2}t^2+\frac{g^2q}{12}t^4-\frac{g^3q^2}{45}t^6+-... \end{eqnarray}$
17.04.2005, 21:58	davethekilla	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, habe das ergebnis eben nicht.. weil ich ja nicht weiß wie so was funzt... wär aber sehr erfreut, wenn du mir ein paar ansätze geben könntest. hab echt die hoffnung verloren, dass da noch mal jemand antwortet. lg
17.04.2005, 22:50	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Ergebnis ganz normal mit einem Reihenansatz z(t) = a0 + a1t + a2t^2 +...+ a6t^6 erhalten, indem ich mit dem Ansatz in die DGL gegangen bin, zuerst die Anfangsbedingungen berücksichtigt, und dann einfach die Koeffizienten von t^n verglichen habe. Über die Methode mit Lie-Reihen müsste ich mich erstmal schlau machen. Ich kenn eigentlich nur das Verfahren, dass man ausgehend von einem Schätzwert durch aufeinanderfolgende Integrationen immer bessere Näherungswerte erhält (waren das die "sukzessiven Approximationen"?) Z.B. sei: z'=v und v'=qv²-g, daraus würde folgen (jetzt einfach mal hingeschrieben ohne irgendwelche Prüfungen auf mathem. Korrektheit usw.): $\begin{eqnarray} v_{n+1}=\int(qv_n^2-g) dt \text{ und } z=\int v_n dt \end{eqnarray}$ Mal sehen, ob es hier geht (erstmal ohne Integrationsgrenzen, weiß eh nicht, wie die jetzt schon zu berücksichtigen wären): $\begin{eqnarray} v_0=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1=\int(qv_0^2-g) dt=\int(-g) dt = -gt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2=\int(qv_1^2-g) dt=\int(qg^2t^2-g) dt = \frac{qg^2}{3}t^3-gt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_3=\int(qv_2^2-g) dt=\int((q\frac{qg^2}{3}t^3-gt)^2-g) dt \\ = \int(\frac{q^3g^4}{9}t^6-2\frac{q^2g^3}{3}t^4+g^2t^2-g) dt \\ =\frac{q^3g^4}{63}t^7-\frac{2q^2g^3}{15}t^5+\frac{qg^2}{3}t^3-gt \end{eqnarray}$ (usw. Oho, das Verfahren ist superschnell...) und damit für z nach Integration von v: $\begin{eqnarray} z_3(t) = \frac{q^3g^4}{504}t^8-\frac{q^2g^3}{45}t^6+\frac{qg^2}{12}t^4-\frac{g}{2}t^2 \end{eqnarray*}$ Hier fehlt noch die Anfangsbedingung z(0)=h, die als Integrationskonstante bei der Integration von v anfallen würde. Also, das ist das andere Verfahren, das ich mal kannte. Aber: Keine Gewähr für die Richtigkeit der Rechnung !

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