Aufgabe zu komplexen Zahlen |
| 10.11.2007, 20:43 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aufgabe zu komplexen Zahlen habe bereits mehrere Stunden ein Matheblatt vor mir und habe es weitgehend durchgearbeitet. Nur bei zwei Aufgaben komme ich einfach nicht weiter. Es fehlt jeglicher Ansatz. Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen. Lösungen der Gleichungen berechnen: Aufgabe 1: z² - ( 3 + 5 i ) z = 16 - 4 i Aufgabe 2: ( z + 8 + i ) / ( 3 z + 2 - 3 i ) = ( z - 5 ) / ( z + 6 i ) Alle Vorschläge und Ansätze willkommen |
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| 10.11.2007, 20:48 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aufgabe zu komplexen Zahlen Aufgabe 1: quadratische Gleichung in z: z² - ( 3 + 5 i ) z - (16 - 4 i)=0 p = -(3+5i) q= -(16-4i) pq-Formel anwenden falls du nur die abc-Formel kennst a=1 b=p c=q Aufgabe 2: nehme an, dass nach dem Entfernen der Nenner durch kreuzweises Multiplizieren auch eine quadratische Gleichung in z herauskommt |
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| 10.11.2007, 20:48 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst auch für komplexe quadratische Gleichungen die pq-Formel verwenden, nur mußt du etwas mit der Wurzel aufpassen. Deswegen bevorzugen manche den Weg die quadratische Ergänzung zu suchen, obwohl das auch nichts anderes ist, wenn man aufpasst. Die zweite Gleichung wird auch zu einer quadratischen, wenn du sie mit beiden Nennern multiplizierst. |
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| 10.11.2007, 21:11 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich werde das mal versuchen und werde mich dann nochmal melden. Danke schonmal. |
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| 10.11.2007, 21:58 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe nun die erste Aufgabe anhand der PQ-Formel gelöst und bekommen folgendes raus: z1: 1,5 + Wurzel(8) - Wurzel(3,5i) + 2,5 i z2: 1,5 - Wurzel(8) - Wurzel(3,5i) + 2,5 i Hört sich denke ich gut an, da ich ja für die komplexe Zahl z einen Reelenteil und einen Imaginärenteil heraushabe. Soweit so gut. Vielen Dank Zu der zweiten habe ich folgende Frage: Wenn ich beide Seiten mit den Nennern der anderen multiplizieren und dies dann alles ausmultipliziere, dann komme ich auf folgendes Ergebnis: -2z² - 10iz - 21z + 33i + 4 = 0 Nun wie gehe ich nun weiter? Kann ich nun auch die PQ-Formel anwenden, wenn ja, wie? Oder sollte ich die 4 auf die andere Seite bringen und beide Seiten quadrieren? Was meint ihr? |
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| 11.11.2007, 09:23 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei der ersten hast du dich verrechnet 
bei 2. schlage ich die abc Formel vor, dann musst du nicht mit Brüchen rechnen unter der Annahme, dass du richtig ausmultipliziert hast: zuerst mit (-1) multiplizieren 2z^2 +(21+10i)z -(4+33i)=0 a = 2 b= 21+10i c=-(4+33i) Edit: du hast leider beim Ausmultiplizieren 2 Vorzeichenfehler!! Edit 2: ich auch 
Richtigstellung 2z^2 -(21+10i)z -(4-33i)=0 a = 2 b= -(21+10i) c=-(4-33i) |
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| 11.11.2007, 11:36 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei der ersten Aufgabe komme ich einfach nicht auf dein Ergebnis. Ich habe in der letzten Zeile folgendes stehen: z1/2= 1,5 + 2,5 i +/- Wurzel (9/4 + 25/4 + 16 + 4 i ) dies kann ich ausmultiplizieren wie ich will und ich komme nicht auf dein Ergebnis. Was mache ich zum Beispiel mit der Wurzel aus 4 i ? Diese bleibt ja dann stehen. Ich kann daraus ja Wurzel 4 = 2 machen und dann habe ich trotzdem noch die Wurzel aus i stehen. Wie soll ich da vorgehen? Dasselbe Problem habe ich bei der zweiten Aufgabe. Nachdem ich meinen Vorzeichenfehler entdeckt habe, habe ich die abc Formel angewendet und habe dort Wurzel (264 i ) stehen. Naja vielleicht kannst du mir dort nochmal helfen. Danke |
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| 11.11.2007, 11:47 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vor das 4i gehört ein - alles unter der Wurzel zusammenfassenund die Wurzel ziehen quadrieren -> Koeffizientenvergleich -> GLS in a und b -> biquadrtatische Gleichung -> a und b berechnen -> einsetzen und du kommst auf die (meine) Lösung bei deiner 2. Aufgabe hast du was falsches unter der Wurzel
Edit: i vergessen |
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| 11.11.2007, 12:09 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, naja nun hört es bei mir völlig auf 
--> 
ich verstehe nicht wie du auf die 7/2 unter der Wurzel kommst. Demnach müsst ja Wurzel aus -4i = 7/2 sein. Die anderen Schritte kann ich absolut nicht nachvollziehen, sorry. Wenn ich die Wurzel quadrieren, muss ich ja auch das a+bi quadrieren und damit bekomme ich einen Term mit a² + 2abi - b² und wie geht es dann weiter? Ich könnte mich natürlich mit 70% des Matheblattes zufrieden geben, aber aus Interesse möchte ich auch noch die letzten zwei Aufgaben verstehen. Vielleicht könntest du mir nochmals diese Schritte etwas genauer erklären "grybl". Großen Dank |
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| 11.11.2007, 12:59 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
unter der Wurzel haben wir also das ergibt dann quadrieren Koeffizientenvergleich I. (alles ohne i muss gleich sein) II. (alles mit i muss gleich) aus der 2. Gleichung a oder b ausdrücken und in die andere einsetzen und da kommst du dann glaube ich auch selbst weiter. es kommen dann 4 Lösungen heraus, wobei natürlich die komplexen zu streichen sind, da ja a und b reele Zahlen sein müssen |
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| 11.11.2007, 13:32 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, also nach dem Quadrieren und dem Koeffizientenvergleich erhalte ich für a und b eine Zahl. Setzte ich diese Zahl dann einfach am Anfang für die Wurzel aus 12 + 7/2 i ein? Es ist ja korrekt, dass ich bei der Berechnung von a und b eine Substitution durch führen muss? Danke |
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| 11.11.2007, 13:50 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genauso ja 
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| 11.11.2007, 15:33 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn ich 2ab = 7/2 nach a auflöse erhalte ich für a = 1,75/b, wenn ich dieses a in die Gleichung a² - b² = 12 einsetze bekommen ich folgendes heraus: 12b² + b^4 - 49/16 = 0 ich setze dann b² = u und habe dann folgendes u² + 12 u - 49/16 = 0 mit der p/q formel erhalte ich dann u1 = 1/4 und u2= -49/4 Soweit so gut. Bei der Rücksubstitution habe ich u = b² gesetzt und erhalte einmal b = Wurzel aus 1/4 und als zweites b = Wurzel aus -12 1/4, das dann ja wegfällt. was mache ich nun mit dieser Wurzel aus 1/4? |
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| 11.11.2007, 15:37 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
einmal Wurzelziehen => b = +/- 1/2 dann in a² - b² =12 einsetzen => a und dann für die Wurzel in der pq Forlmel einsetzen |
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| 11.11.2007, 15:45 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok für a = Wurzel aus 12 1/4 und dies setzte ich dann in die PQFormel ein und erhalte: z1/2 = 1,5 + 2,5 i +/- 3,5 --> z1 = 5 + 2,5 i --> z2 = -2 + 2,5 i Habe ich das nun richtig gemacht? 
Wenn ja, dann musst du mir nochmal erklären warum ich diese Wurzel einfach durch die andere Wurzel ersetzen kann. Und warum ich überhaupt die Wurzel aus 12 + 7/2 i = a + bi setze. Danke
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| 11.11.2007, 15:57 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
leider noch immer nicht ganz richtig du hast ganz auf das b vergessen warum du das so machen musst? aus einer reellen Zahl kannst du einfach mit dem Taschenrechner (oder im Kopf) Wurzelziehn. Du erhältst dann je nach dem eine reelle oder komplexe Lösung nun sollst du aber aus einer komplexen Zahl die Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist auch eine komplexe Zahl (denn das Quadrat einer reellen Zahl wird nie komplex) da jede komplexe Zahl die Form z=a+bi hat setzt man nun die Wurzel gleich a+bi und geht so voe, wie wir es oben gemacht haben 
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| 11.11.2007, 16:09 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Hm, ok ich denke das habe ich verstanden. Einfach klasse von dir, dass du mir das erklärt hast. Nun zu guter letzt vielleicht noch einen Tipp für meine zweite Aufgabe, denn momentan muss ich mich mit der abc Formel verrechnet haben. z1/2 = (( 21 + 10 i ) +- Wurzel aus (( - 21 + 10 i )² - (-32 + 264 i )) / 4 Irgendwie muss ich mich da wohl verrechnet haben. Kannst du mir sagen, welcher Teil davon stimmt? Danke |
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| 11.11.2007, 16:31 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
woher kommt das - ? |
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| 11.11.2007, 16:44 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das istvon meiner zweiten Aufgabe, die lautet: (( z + 8 + i )) / (( 3z + 2 - 3 i )) = (( z - 5 ) / ( z + 6i )) Dies habe ich ausgrechnet: 2z² - 21z - 10iz - 33i - 4 = 0 Darauf die abc Formel angewendet mit: a= 2 ; b = -( 21 + 10i ) ; c = - ( 4 - 33 i ) Und dann erhalte ich eben dieses Ergebnis: z1/2 = (( 21 + 10 i ) +- Wurzel aus (( - 21 + 10 i )² - (-32 + 264 i )) / 4 Aso dieses Minus habe von b, da ja b = -( 21 + 10i ), Stimmt das nicht? |
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| 11.11.2007, 16:47 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
war mir schon klar, dass sich das auf die 2. Aufgabe bezieht. Nur das - hat dort nichts zu suchen! wenn b=-(21+10i) dann ist b²=(21+10i)² |
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| 11.11.2007, 17:04 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich erhalte immer unter der Wurzel folgenden Term: ((21+10i)² - (-32 + 264 i)) Die 264 erhalte ich weil ich zuerst 2*4 rechne und dies dann noch multipliziert mit 33i. Ist das korrekt? |
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| 11.11.2007, 17:24 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, korrekt und jetzt geht's so wie bei Aufgabe 1 da dürftest du mMn keine Schwierigkeiten mehr haben (Rechenfehler ausgeschlossen ;-) ) |
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| 11.11.2007, 17:39 | Mindmaster_pro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herzlichen Dank
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| 11.11.2007, 17:45 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gerne
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