Funktionen

11.11.2007, 01:18	Joe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen Hallo, brauche dringend Hilfe: Aufgabe: (F(R),+,) sei Vektorraum (F(R) sei die Menge aller Funktionen von R nach R). Betrachte die Menge F+ bzw. F- der Funktionen auf R, die auf (-unendlich,0) bzw. [0,unendlich) identisch verschwinden. 1. Zeige, dass F+,F- Unterräume von F(R) sind. 2. Zeige, dass F+,F-,F(R) unendlich-dimensional sind. 3. Zeige, dass F(R) = F+ $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray*}$ F- Wie kann man sich Funktionen vorstellen, die im minusraum identisch verschwinden? Sind das vllt so Treppenfunktionen? (ihr wisst was ich meine oder?)
11.11.2007, 10:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das sind so etwas was ähnliches wie Treppenfunktionen z.B. ist mit $\begin{eqnarray} f\in F(\mathbb R) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} F_+\ni\tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & x\in[0,\infty )\\0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$
11.11.2007, 14:22	Joe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar...danke Noch eine Frage: Bei (3) muss ich zeigen, dass F(R)=(F-) + (F+) und F- "geschnitten" F+ = {0} ist oder? Wie kann man eigentlich das Zeichen $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ interpretieren? Weil, nach definition darf man es ja nur dann benutzen, wenn die zuverknüpfenden Mengen nur den Nullvektor als schnittmenge haben. Und jetzt wird in der Aufgabe schon $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ verwendet. Folgt daraus nicht dann direkt, dass die beiden Mengen nur den Nullvektor als Schnittmenge haben, weil das Zeichen benutzt wird? Was wär denn z.B. wenn F+ und F- nicht die Vorraussetzungen für die direkte Summe erfüllen würden? Ist dann das Ergebnis von F+ $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ F- einfach nicht definiert (und deswegen auch nicht gleich F(R)) ?
11.11.2007, 14:42	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst auch das $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ -Zeichen rechtfertigen. Also zeigen das es eine direkte Summe ist. Dazu gehört natürlich auch das der Schnitt trivial ist. Wenn dem nicht so ist, ist das Zeichen nicht gerechtfertigt und somit F auch keine direkte Summe aus F- und F+
11.11.2007, 17:03	Joe1	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich für (2) annehmen, dass die menge aller polynome unterraum von allen Funktion von R nach R ist, dann beweisen, dass R[x] unendlichdimensional ist und daraus schlussfolgern, dass dann auch die Menge aller funktionen von R nach R unendlich-dimensional ist? Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiss, was man sich unter der Menge aller Funktionen von R nach R vorstellen kann. Müssen das dann z.b. bijektive, injektive oder surjektive Funktionen sein (eigentlich wissen wir auch noch gar nicht was das ist )? Bis jetzt haben wir in der Vorlesung schonmal bewiesen, dass R[x] unendlich-dimensional ist und zwar darüber, dass R[x] kein erzeugendensystem aus endlich vielen vektoren mit endlich vielen Graden haben kann. Jetzt ist aber z.B. sin(x) auch eine Funktion von R nach R (oder nicht?), die gar keinen bestimmten Grad hat ... oder etwa doch?
11.11.2007, 20:14	Joe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen? :P
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12.11.2007, 00:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja der Weg über die Polynome ist möglich. Wenn du zeigst das eine Teilmenge unendlich-dim ist dann muss es auch der ganze Raum sein

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