Vereinigung zweier Untervektorräume => kein Unterverktroraum, wie kann das gehen?

13.11.2007, 17:22

Aileron

Vereinigung zweier Untervektorräume => kein Unterverktroraum, wie kann das gehen?

Hi Leute,

ich habe mal eine allgemeine Frage zum verständniss:

Sei V ein VR/IR und sein U1 und U2 Untervektorräume von V

nun sollen U1 und U2 Existieren so das die Vereinigung von U1 und U2 keinen neuen Untervektorraum ergeben

Ich habe mir folgendes überlegt.
Seinen nun x1 und x2 aus V lin.un.
Sei {x1} = U1, {x2} = U2

Sei nun U3 die Vereinigung von U1 und U2

Seien u und v aus U3 und k aus K

nun müssen Folgende Bedingungen erfüllt sein:
1) U3 darf nicht leer sein.
2a) u + v muss wieder aus U3 sein,
2b) k * u muss wieder in U3

Beweis:
zu 1)
da weder U1 noch U2 leer waren, kann auch die Vereinigung von U1 und U2 nicht leer sein.

zu2)
a) da x1 und x2 jeweils ihren Unterraum aufgespannt haben wir x1 und x2 wieder als Erzeugendensystem von U3 nehmen.

$\begin{eqnarray*} => \forall y \in U3 \exists a_1, a_2 \in K : y = a_1 * x_1 + a_2 * x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => u + v = a_{u1} * x_1 + a_{u2} * x_2 + a_{v1} * x_1 + a_{v2} * x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => u + v = (a_{u1} + a_{v1}) * x_1+ (a_{u2} + a_{v2}) * x_2 \end{eqnarray*}$

Nach den Körperaxiomen ist das aber wieder aus U3.

bleibt also noch zu zeigen, das k * u wieder in U3 liegt.

$\begin{eqnarray*} => \forall y \in U3 \exists a_1, a_2 \in K : y = a_1 * x_1 + a_2 * x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => k * u = k * (a_1 * x_1 + a_2 * x_2) = (k * a_1) * x_1 + (k * a_2) * x_2 \end{eqnarray*}$

Nach den Körperaxiomen ist das wieder in U3

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Bitte sagt mir wo hier mein Gedankenfehler liegt.

mfg
Aileron

13.11.2007, 17:29

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RE: Vereinigung zweier Untervektorräume => kein Unterverktroraum, wie kann das gehen?

Zitat:

Original von Aileron
Nach den Körperaxiomen ist das aber wieder aus U3.

Nein. U3 ist nur die Vereinigung zweier Mengen - inwieweit helfen da Körperaxiome etwas?

13.11.2007, 17:32

Aileron

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U3 besteht aus U1 und U2. Dieses war jeweils aus V.

das bedeutet doch, das auch für die Vereinigung der beiden Mengen wieder die Untervektorraumeaxiome, damit ein teil der VR-Axiome und damit auch die Körperaxiome gelten müssen, oder?

13.11.2007, 17:50

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Nehmen wir mal als Beispiel den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und als Untervektorräume die beiden Koordinatenachsen, Die Vereinigung beider Mengen sind dann die Punkte auf beiden Achsen, also alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,y) \end{eqnarray*}$ , mehr nicht.

Nun ist $\begin{eqnarray*} (0,1) + (1,0) = (1,1) \end{eqnarray*}$ . Liegt der Punkt $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ auf einer der Achsen? Sicher nicht.

13.11.2007, 18:07

Aileron

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Ahhh! ich verstehe.

Das bedeutet also, wenn ich zwei mengen vereinige (wie hier im beispiel aus IR²) dann vereinige ich NUR die beiden Mengen ans Werten, und nicht die Erzeugendensysteme?

das macht Sinn...

Danke.

13.11.2007, 18:15

therisen

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Siehe auch Problem mit Teilräumen

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