Vereinigung kompakter Mengen |
| 13.11.2007, 22:13 | gmml | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vereinigung kompakter Mengen Sagt mal..ich frage mich gerade, ob die Vereinigung beliebig vieler kompakter Mengen eigentlich auch kompakt ist? Also ich vermute schon, denn eine kompakte Menge kann ich doch ganz klar auf dem Zahlenstrahl abgrenzen. Wenn ich nun beliebig viele davon nehme, dürfte ich die doch immernoch klar abgrenzen können, nur halt mit Löchern drin. Dass das kein mathematischer Beweis ist, ist mir klar, aber das wäre jetzt eh für mich ein wenig viel verlangt. Dankeschön! 
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| 13.11.2007, 22:15 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nö betrachte in Zusammenhang mit dem Satz von Heine-Borel |
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| 13.11.2007, 22:15 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Endlich viele - ja, stimmt. Unendlich Mengen - Nein. Edit: Mist, zu spät 
air |
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| 13.11.2007, 22:22 | gmml | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heine-Borel sagt mir leider gar nichts. Wieso sollte die Vereinigung, die du (kiste) da hingeschrieben hast, denn nicht kompakt sein? Leider fällt es mir an Vorstellungskraft, wieso das für endlich viele gelten soll und für unendlich viele nicht. Kann man das anschaulich erklären? Wenn man sagt "beliebig viele", meint man damit "beliebig endlich viele" oder eventuell auch unendlich? |
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| 13.11.2007, 22:40 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Beispiel von kiste: Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Definition vom Kompaktheit äquivalent zu: Die Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Dies ist hier halt nicht der Fall, wie du sicher leicht sehen kannst. "Beliebig viele" schließt "unendlich viele" in aller Regel mit ein. Andernfalls spricht man eben von "endlich vielen". 
air |
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| 13.11.2007, 22:48 | gmml | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für deine Antwort. Leider kann ich das nicht so einfach sehen. Ich meine die "nächste Menge" "verschluckt" ja praktisch die Mengen davor. Und diese Menge ist doch kompakt, oder nicht? Welche Definition verstößt denn dagegen? abgeschlossen: Die Menge enthält alle ihre Häufungspunkte. beschränkt: Es ex. inf und sup (etwas salopp formuliert). |
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| 13.11.2007, 22:53 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du vereinigst aber unendlich Mengen, die immer größer werden. Du bekommst also sozusagen - und das ist offen. Und beschränkt ist es auch nicht. Oder kannst du mir eine Schranke nennen?
(Ich hoffe mal, dass die Erklärung so stimmt 
)air |
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| 13.11.2007, 23:00 | gmml | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm...nagut
hast mich überzeugt. Danke euch! |
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| 14.11.2007, 02:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso "auch"? Die Unbeschränktheit ist hier gerade das Entscheidende. Die Menge von Kiste ist nichts anderes als IR, und IR ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Aber eben nicht beschränkt, also nicht kompakt. |
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| 14.11.2007, 07:45 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
*Arg* Ich wusste ja, dass ich was übersehen hab. Naja gut, aber dann halt "nur" die Beschränktheit. air |
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