Ringhomomorphismus

14.11.2007, 12:47

hxh

Ringhomomorphismus

Sei $\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb Q \to \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus ( das bedeutet $\begin{eqnarray*} \phi(a+b)= \phi(a)+ \phi(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(a*b)= \phi(a)* \phi(b) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie dass nur die folgende Alternative möglich ist:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb Q: \phi(a) =0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb Q: \phi(a) =a \end{eqnarray*}$

Hinweis: Zeigen Sie zunächst das Folgende: Falls $\begin{eqnarray*} \phi(b) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \phi(1) =1 \end{eqnarray*}$

Edit: mal den quatsch hier raus ^^

für $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \phi(b)= \phi(b*1)= \phi(b) * \phi(1) => \frac{\phi(b)}{\phi(b)} = \phi(1) => \phi(1) = 1 \end{eqnarray*}$

vollst IND. IA $\begin{eqnarray*} \phi(n) = n \end{eqnarray*}$
n=1 wahr wie man gezeigt hat

SChließen wir auf n+1

$\begin{eqnarray*} \phi(n+1) = n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(n+1) = \phi(n)+ \phi(1) = n+1 \end{eqnarray*}$

Folgerung $\begin{eqnarray*} \phi(a) =a \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 21:33

hxh

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jemand nen tipp ?

15.11.2007, 22:25

therisen

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Hallo,

nein, bisher bist du auf dem Holzweg. Falls $\begin{eqnarray*} \phi(b)\neq0 \end{eqnarray*}$ , dann muss auch $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ sein. Es folgt $\begin{eqnarray*} \phi(1)=\phi(bb^{-1})=\phi(b)\phi(b^{-1})=\phi(b)\phi(b)^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

15.11.2007, 22:44

hxh

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ja ich hab mittlerweile für b ungleich null gezeigt, dass phi(1)=1 , dann durch vollständige ind. bewiesen, dass phi(a)=a ist auf den anderen weg komm ich einfach nicht

15.11.2007, 22:47

therisen

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Welchen anderen Weg?

15.11.2007, 23:06

hxh

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damit ich zeige phi(a) = 0, da weiss ich nicht wie ich das anpacken soll
hab das mal oben umgeändert wie ichs gemacht habe bis hierhin

16.11.2007, 00:43

therisen

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Zitat:

Original von hxh
damit ich zeige phi(a) = 0, da weiss ich nicht wie ich das anpacken soll

Das brauchst du überhaupt nicht mehr zeigen, wenn du deinen angefangenen Beweis richtig beendest. Bisher hast du $\begin{eqnarray*} \phi(n)=n \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen n gezeigt. Du sollst es aber für alle rationalen Zahlen zeigen!

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