Zähldichte bestimmen

14.11.2007, 18:20

RuK

Zähldichte bestimmen

Es seien $\begin{eqnarray*} X=(X_1, X_2) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit WErten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_r=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2 : |m| + |n| \le r \}, r \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . X sei gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Zähldichte von X

Wir haben die Zähldichte über Umwege definiert.
$\begin{eqnarray*} (\Omega, P) \end{eqnarray*}$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, $\begin{eqnarray*} \Omega' \end{eqnarray*}$ ein diskreter Merkmalsraum und $\begin{eqnarray*} X:\Omega -> \Omega' \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable
Für $\begin{eqnarray*} A' \subset \Omega' sei P_x(A'):=(P(X^{-1}(A')). P_x \end{eqnarray*}$ ist das Bildmaß von P unter X.
Mit dem Bildmaß von P unter X $\begin{eqnarray*} f_X(\omega'):=P_X(\{\omega'\}), \omega' \in \Omega' \end{eqnarray*}$ heißt die Zähldichte von X.

Kann mir mal jemand eine Anleitung geben wie ich hier die Zähldichte bestimme? Ich kenne das mit konkreten Zahlen, dass man dann alles aufsummieren muss und dann muss irgendwie 1 herauskommen.
Muss hier dann |m| + |n| = r herauskommen?

Das kann man aber gar nicht lösen...
Help!!!

14.11.2007, 19:29

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Die diskrete Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ auf einer endlichen Menge $\begin{eqnarray*} \Omega' \end{eqnarray*}$ heißt schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} P_X(\{ \omega' \}) = \frac{1}{|\Omega'|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega'\in\Omega' \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \Omega'=K_r \end{eqnarray*}$ , du musst also nur die Anzahl der Punkte in $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ zählen - die kannst du als einfache Funktion von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ausdrücken.

14.11.2007, 21:06

RuK

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Hallo Arthur Dent. Danke für die Erläuterung.
Kannst du mir auch sagen wie ich die Randverteilung von $\begin{eqnarray*} X_1 und X_2 \end{eqnarray*}$ bestimme?
Ich hab das Ding mal zeichnet und da ist es eine Raute. Bei der Y und X- Achse habe ich +r und -r markiert. Und dann direkt die Verbindungslinie gezogen. Ich glaube nicht dass sich die Randverteilung daraus ablesen lässt. Aber n Versuch wars ja wert Augenzwinkern

14.11.2007, 21:14

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Immer den ersten Schritt vor dem zweiten: Was hat denn deine Zählung für $\begin{eqnarray*} |K_r| \end{eqnarray*}$ ergeben?

Ich würde das Gebilde genauer noch als Quadrat bezeichnen, im Koordinatenzentrum positioniert, aber 45° gegenüber den Koordinatenachsen verdreht.

15.11.2007, 07:36

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Also als Formel für $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ bekam ich heraus $\begin{eqnarray*} f(r) = 1+ (\sum^n_{r=r} 4r) \end{eqnarray*}$

Und nun zur Randverteilung. Die Definition gemäß Wikipedia habe ich mir auch schon unzählige Male durchgelesen. Aber übertragen kann ich die Formel nicht wirklich auf das Problem.

15.11.2007, 09:24

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Deine Summe ist äußerst merkwürdig: Als Laufindex verwendest du das bereits belegte Symbol $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , dafür als obere Summengrenze den unbestimmten Ausdruck $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ??? Irgendwie umgedreht wird vielleicht ein Schuh draus.

Ich hatte aber auch eher an was einfaches wie $\begin{eqnarray*} |K_r| = r^2+(r+1)^2 = 2r^2+2r+1 \end{eqnarray*}$ gedacht, wenn man nämlich die (richtige) Summe vereinfacht. Augenzwinkern

EDIT: Ich hab jetzt rekonstruiert, welche Summe du meinen könntest, vermutlich ist es

$\begin{eqnarray*} f(r) = |K_r| = 1+ \sum_{n=1}^r 4n \end{eqnarray*}$ ,

das würde stimmen und führt zu meiner obigen Vereinfachung.

EDIT2: Und zur Randverteilung: Bezogen auf deinen Bildraum $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ gilt ja

$\begin{eqnarray*} P(X_1=j) = P_X\left( \left\{ (m,n) \in K_r \bigm| m=j \right\} \right) = \frac{\left| \left\{ (m,n) \in K_r \bigm| m=j \right\} \right|}{|K_r|} \end{eqnarray*}$

also für den Zähler einfach ermittlen, wieviel Punkte von $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ auf der vertikalen Linie $\begin{eqnarray*} x_1=j \end{eqnarray*}$ liegen. Für $\begin{eqnarray*} |j|>r \end{eqnarray*}$ offenbar überhaupt keiner, und für $\begin{eqnarray*} |j|\leq r \end{eqnarray*}$ sind es ... ?

15.11.2007, 12:23

RuK

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Moin.

Zitat:

Original von Arthur Dent
Deine Summe ist äußerst merkwürdig: Als Laufindex verwendest du das bereits belegte Symbol $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , dafür als obere Summengrenze den unbestimmten Ausdruck $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ??? Irgendwie umgedreht wird vielleicht ein Schuh draus.

Was habe ich denn da gemacht. Du hast es absolut richtig erkannt, sollte $\begin{eqnarray*} 1+\sum^r_{n=1}4n \end{eqnarray*}$
Fürs nächste Mal verspreche ich mehr Sorgfalt Augenzwinkern

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich hatte aber auch eher an was einfaches wie $\begin{eqnarray*} |K_r| = r^2+(r+1)^2 = 2r^2+2r+1 \end{eqnarray*}$ gedacht, wenn man nämlich die (richtige) Summe vereinfacht. Augenzwinkern

Wie vereinfacht man denn die Summe, sodass man auf diese Form $\begin{eqnarray*} |K_r| = r^2+(r+1)^2 \end{eqnarray*}$ kommt? verwirrt

Man kommt bestimmt auch zu dem Ergebnis, indem ich $\begin{eqnarray*} f(x) := ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ setze und dann mit dieser Wertetabelle
r= 0 -> 1 Element
r = 1 -> 5 Elemente
r = 2 -> 13 Elemente
Und dann wie gewohnt lösen. Und dass die Funktion 2en Grades ist, sehe ich daran, dass es hier um den $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ geht?

Zitat:

Original von Arthur Dent

EDIT2: Und zur Randverteilung: Bezogen auf deinen Bildraum $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ gilt ja

$\begin{eqnarray*} P(X_1=j) = P_X\left( \left\{ (m,n) \in K_r \bigm| m=j \right\} \right) = \frac{\left| \left\{ (m,n) \in K_r \bigm| m=j \right\} \right|}{|K_r|} \end{eqnarray*}$

also für den Zähler einfach ermittlen, wieviel Punkte von $\begin{eqnarray*} K_r \end{eqnarray*}$ auf der vertikalen Linie $\begin{eqnarray*} x_1=j \end{eqnarray*}$ liegen. Für $\begin{eqnarray*} |j|>r \end{eqnarray*}$ offenbar überhaupt keiner, und für $\begin{eqnarray*} |j|\leq r \end{eqnarray*}$ sind es ... ?

$\begin{eqnarray*} |j|\leq r \end{eqnarray*}$ da komme ich auf $\begin{eqnarray*} (2r+1) - 2j \end{eqnarray*}$
Als Beispiel
r=3
x=0 => 7
$\begin{eqnarray*} x=\pm1 => 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\pm2 => 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\pm3 => 1 \end{eqnarray*}$

r=2
x=0 => 5
$\begin{eqnarray*} x=\pm1 => 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\pm2 => 1 \end{eqnarray*}$

Zu der Formel
$\begin{eqnarray*} P(X_1=j) = P_X\left( \left\{ (m,n) \in K_r \bigm| m=j \right\} \right) = \frac{\left| \left\{ (m,n) \in K_r \bigm| m=j \right\} \right|}{|K_r|} \end{eqnarray*}$

Muss ich da jetzt einfach (2r+1)-2j einsetzen im Zähler?

$\begin{eqnarray*} = \frac{(2r+1)-2j}{|K_r|} = \frac{(2r+1)-2j}{2r^2+2r+1} \end{eqnarray*}$

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