Eigenwerte orthogonaler Matrizen

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Kulli Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte orthogonaler Matrizen
Hallo ihr,

ich hab ein Beweisproblem. Wie kann ich zeigen, dass alle Eigenwerte von orthogonalen Matrizen im Komplexen auf dem Einheitskreis ?
Ich kenne nur den Weg über das charakteristische Polynom, um die Eigenwerte zu bestimmen. Aber das scheint hier nicht vel zu bringen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal das Skalarprodukt



wobei v ein Eigenvektor ist und A orthogonal.
 
 
Kulli Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiß ist . Und was sagt mir das?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

es ist auch
Kulli Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss sein. Lieg ich da richtig?
Und das gilt nur für orthogonale Matrizen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also muss sein. Lieg ich da richtig?


Ja das ist richtig, aber bewiesen hast Du es noch nicht. Du musst lediglich noch



und



zusammen basteln. Denk dran das <x,y> hier das komplexe Skalarprodukt meint.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
zusammen basteln. Denk dran das <x,y> hier das komplexe Skalarprodukt meint.


Das ist egal. Die Behauptung gilt auch im Reellen. Ich denke sogar, dass hier das Reelle gemeint ist, denn sonst wäre von unitären Matrizen die Rede.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist egal. Die Behauptung gilt auch im Reellen. Ich denke sogar, dass hier das Reelle gemeint ist, denn sonst wäre von unitären Matrizen die Rede.


Natürlich ist das egal, aber es werden laut Eingangspost

Zitat:
orthogonalen Matrizen im Komplexen


betrachtet und auch wenn für orthogonale Matrizen beide Skalarprodukte zusammenfallen müsste man formal korrekt das komplexe Ansetzen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp. Habe mal wieder zu schnell gelesen.
Mampf Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist denn <Av,Av> = <v,v>?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sind denn bei dir orthogonale Matrizen definiert?
Mampf Auf diesen Beitrag antworten »

ja habs verstanden. sind ja orthogonale abbildungen, die die länge beibehalten..
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir das mal bitte einer erklären? bitte. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

WAS möchtest du erklärt haben. WAS kannst du nicht nachvollziehen?
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nicht was <Av,Av>=<v,v> bedeutet beziheungsweise wo ihr das hernimmt und wieso man da auf kommen soll. was zeigt mir das dann??

sry ich weiß das ich dich nerve aber ich muss irgendwie die hälfte der übungsserie schaffen sonst werde ich nicht zur prüfung zugelassen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es nervt mich nur, dass ich keine Initiative von dir sehe. Nicht, dass du Dinge noch nicht weißt. Augenzwinkern

(*)

Was soll es wohl bedeuten? Hier steht dass die beiden Skalarprodukte identisch sind. Viel interessanter ist die Frage, warum das so ist. Es hilft, sich zu erinnern, dass A orthogonal ist und die Definition des http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...Matrizenprodukt

Also, warum gilt (*)? Augenzwinkern
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldige echt ich will dich nicht nerven. ich werd versuchen mich zu bessern.


also ich hab zwar die defintion net im hefter gefunden aber bei wiki stand diese eigenschaft von orthogonalen matrizen:
Durch eine Multiplikation mit Q ändert sich die euklidische Länge eines Vektors nicht.
könnte das was damit zu tun haben
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das wollen wir doch gerade zeigen. Da nützt es mir doch nichts, wenn du wiki zitierst. unglücklich Wir haben im anderen Thread doch schon über die Eigenschaften gesprochen... Wie habt ihr orthogonale Matrizen definiert. Folgen danach noch Lemmatas? Das darfst du benutzen, sonst nichts. Andere Dinge musst du eben erst zeigen.

Wiki bietet eine Auswahl an Definitionen Der Fischer (mein empfohlenes Buch) nimmt die erste Eigenschaft. Augenzwinkern
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

gut gefunden.

als Definition:
Eine Basis heißt orthogonal bezüglich einer Bilinearform o, falls für alle gilt: . Falls zusätzlich für jedes gilt, dann heißt die Basis orthonormal.

So, als lemma und so haben wir:
1. Sei o eine Bilinearform. Dann gilt: Ist eine orthogonale Basis, so ist die Gramsche Matrix von o diagonal. Ist eine orthonormale Basis, so ist die Gramsche Matrix von o gleich Id.
2. Es gilt:
(a) eine orthogonale Basis die Bilinearform ist symmetrisch.
(b) eine orthonormale Basis die Bilinearform ist symmetrisch und positiv definit (und ist deswegen ein Skalarprodukt).
3. o sei eine Bilinearform auf einem Vektorraum V der Dimension n. Es gibt genau dann eine orthonormale Basis, wenn die Bilinearform ein Skalarprodukt ist.
4. Es sei (V,<,>) ein Euklidscher Vektorraum. Sei eine orthonormale Basis. Dann gilt: die Koordinaten von beliebiges sind gleich .

So das müsste es glaube schon gewesen sein.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal frage ich mich, ob ich in einer anderen Sprache schreibe. Wir beschäftigen uns mit orthogonalen Matrizen und du lieferst mir die Definition einer orthogonalen Basis. Also schlage bitte noch das richtige nach. Augenzwinkern

Fischer
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry bin schon seit über 28 stunden wach.

Solche Matrizen , sodass heißen orthogonale matrizen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann vielleicht mal schlafen? Schläfer

Ok, und nun benutz das um zu zeigen

Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist Idv = v?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was sonst? Aber nun setzt doch einfach mal ein. Augenzwinkern
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

gut dann hätt ich jetzt
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

und kann ich da jetzt einfach
setzen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn jetzt schon wieder. Du kannst da doch nicht einfach ein A^T einschieben. Du sollst nur die Definitionen benutzen. Tränen



Anwenden des Skalarprodukts.



Anwenden der Rechenregeln zum Transponieren



Assoziativgesetz (Klammen setzen)



benutzen, dass A orthogonal ist.



Anwenden des Skalarprodukts



Also bitte fülle den Lückentext nun aus.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

also

was meinst du mit klammer setzen?

steh ich aufm schlauch?

sorry.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

böse Mein Gott, ich habe Skalarprodukt doch verlinkt. Du wirst doch noch eine Definition umsetzen können. Und vor der Klammern kamen ja noch mehr Zwischenschritte. Warum schreibe ich es wohl so ausführlich? Tränen



http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...Matrizenprodukt

Also, was möchte ich hören? Augenzwinkern
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

áchso gut das ist die übermüdung.

???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich. Und nun arbeite den Rest ab.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

dann haben wir
???
der_eine Auf diesen Beitrag antworten »

Sry aber da wir dir gleiche Aufgabe haben platz ich mal so dazwischen.

Studierst du in Jena und hast den Matveev?

Wenn ja musst du dass nicht zeigen.
Wir haben orthogonale Endomorphismen f so definiert:
<u,v>=<f(u),f(v)>

also ist doch insbesondere <v,v>=<Av,Av> nicht wahr?

und da Av=µv

<v,v>=<Av,Av>=<µv,µv>

Doch wie schlussfolgern wir nun |µ|=1? Weil <Av,Av>=1?

Btw... ich kann mir garnicht so recht vorstellen wie eine Matrix, also eine Funktion, orthogonal sein kann. also die Länge 1 haben kann.
Allgemein eine Länge haben kann.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke.
wie hast du es sonst gemacht?
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

aber moment.
es geht doch um matrizen und nicht um abbildungen oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es miteinander identifizieren. Aber bitte, mach die Schritte nun einmal, du willst doch was lernen.

@ der eine: ihr könnt dann ja im eigentlichen Aufgaben Thread zusammen weitermachen.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

na hab ich doch gemacht da oben oer nicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn du hast nicht richtig transponiert. Zitiere meinen Lückentext und füge dort die Lösungen ein. Danke.
Anne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Was machst du denn jetzt schon wieder. Du kannst da doch nicht einfach ein A^T einschieben. Du sollst nur die Definitionen benutzen. Tränen



Anwenden des Skalarprodukts.



Anwenden der Rechenregeln zum Transponieren



Assoziativgesetz (Klammen setzen)



benutzen, dass A orthogonal ist.



Anwenden des Skalarprodukts



Also bitte fülle den Lückentext nun aus.



besser?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anne91
[quote]Original von tigerbine
Was machst du denn jetzt schon wieder. Du kannst da doch nicht einfach ein A^T einschieben. Du sollst nur die Definitionen benutzen. Tränen



Anwenden des Skalarprodukts.



Bis dahin stimmt es. Nun schlage nach, wie man korrekt transponiert. Das ist wichtig.
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