Untervektorräume mit Ungleichungen

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume mit Ungleichungen
Hallo,

ich habe hier schon einiges zu Untervektorräumen gefunden, jedoch habe ich ein Problem bezüglich der Anschaulichkeit.

Sie U die Menge aller Vektoren

mit

Zeigen muss ich, ob U nun ein Untervektorraum ist. Nur diese Ungleichung verwirrt mich etwas, weil ich da doch irgendwie keinen direkten Zusammenhang zwischen a und b herstellen kann, oder? Wahrscheinlich irgendein dummer Denkfehler von mir. Hoffe mal, dass mich da einer auf die richtige Bahn kicken kann. Die Untervektorraumkriterien sind mir eigentlic bekannt, weiß sie aber auf diese Ungleichung nicht anzuwenden...

Ich wollte mir gerne erstmal ein anschauliches Bild davon machen..

Grüße
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir einfach, ob die Unterraumkriterien erfüllt sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde Dir für die Zukunft raten, es weniger mit Anschauung zu versuchen. Augenzwinkern In einem ab-Koordinatensystem würde die Menge der besagten Vektoren aber so aussehen:






Gerade + "alles was drüber liegt"




Und nun machst Du einfach das, was therisen gesagt hat. Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich würde Dir für die Zukunft raten, es weniger mit Anschauung zu versuchen. Augenzwinkern


Meinst du? Hmm... also unser Prof hat uns empfohlen, uns das erstmal zu veranschaulichen. Und ich ging davon aus, dass der schon wissen wird, was er sagt.

Aber irgendwie habe ich, das fällt mir gerade auf, immer noch so meine Probleme damit, was sich nun eigentlich dahinter verbirgt. Die Elemente eines Vektorraumes V sind Vektoren. Wenn nun der R^2 der gegebene Vektorraum V ist, so liegen doch eigentlich alle Vektoren, die es gibt, in diesem Vektorraum, richtig (im R^2, wohlgemerkt)?
So, und nun sollen alle Vektoren, dessen Komponenten a und b der obigen Ungleichung genügen, einen Vektorraum U bilden, der ein Untervektorraum von V ist. Das heißt, alle Vektoren, die in U liegen, liegen auch in V. Aber nicht alle Vektoren, die in V liegen, liegen in U. Richtig? Für den Nullvektor (was ja ein Extrembeispiel ist) kann ich mir das ja auch noch vorstellen.

Wenn ich jetzt mal auf die von dir gepostete Skizze zu sprechen kommen darf (danke übrigens dafür!!!), heißt das doch, dass alle Vektoren, die auf oder "oberhalb" dieser Gerade liegen, zu U gehören. Richtig?
Und müssen dann auch alle Verknüpfungen von zwei Vektoren, dessen Komponenten obige Ungleichung erfüllen, wieder in U, also oberhalb der Geraden liegen (um jetzt mal auf die Abgeschlossenheit der Addition zu kommen)? Das sind doch immer nur vielfache, oder nicht? Müssen dann alle Vektoren, die in diesem Untervektorraum liegen, parallel sein? Oder verstehe ich da was falsch?

Sorry wenn das jetzt alles doof klingt, aber ich würde gerne verstehen, was ich da eigentlich mache... unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Meinst du? Hmm... also unser Prof hat uns empfohlen, uns das erstmal zu veranschaulichen. Und ich ging davon aus, dass der schon wissen wird, was er sagt.


Ich kenne nur den Satz "nehmen Sie endlich Abstand davon, alles bildlich darstellen zu wollen" Big Laugh

Nun zu deiner Aufgabe. Die geg. Vektoren sind zunächst einmal nur eine Teilmenge U des IR². Bildlich hatten wir das ja nun schon. Bildet diese Menge aber einen Vektorraum, hier einen Untervektorraum des IR²? Da wir den größeren kennen, dürfen wir die Rechenregeln als gegeben ansehen und müssen nur noch eine Checkliste abarbeiten. Das sagte therisen auch schon.

  1. Liegt der Nullvektor in U?



    Freude Er liegt drinne.

  2. Abgeschlossen bzgl. Addition

  3. abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation


Du bist dran.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du bist dran.


verwirrt

Da weiß ich, bezüglich der Addition, schon wieder gar nicht, wie ich das anpacken soll. Kriterium ist ja, dass, wenn beispielsweise x und y in U enthalten sind, muss auch (x+y) in U enthalten sein.

Nur wüsste ich jetzt z.B. gar nicht, was ich als x und was ich als y nehmen sollte.

Einfach oder was? Und dann nachweisen, dass die Summe auch die Ungleochung erfüllen würde? Tut mir leid, ich durchblicke einfach nicht, wozu das ganz eigentlich führen soll.

Ach ja:

Zitat:
"nehmen Sie endlich Abstand davon, alles bildlich darstellen zu wollen"


Also ich studiere Physik. Wenn ich mich an den Leitsatz halten würde, wäre ich aber gewaltig aufgeschmissen. Augenzwinkern
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ROFL Ein Physiker. Der Joke war gut.

Also ein Mathematiker nimmt nun einfach einmal 2 Vektoren und schaut sich deren Summe an. Da Teilmenge eines VR kann man also schreiben:




Liegt v nun in U? Es gilt, da :






Was ist dann mit . Es ergibt sich, durch die Körperaxiome:

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine ROFL Ein Physiker. Der Joke war gut.


Öhm... verwirrt

Zur Sache:

Also gut, wenn ich das jetzt auf das letzteKreiterium anwende, bleibe ich hier stecken:



Das wird ja wohl nicht genügen, oder? Andererseits weiß ich nicht, was man da noch machen könnte.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das war nicht böse gemeint. Mit Zunge

Wieder die Rechenregeln in Körpern. Man darf Ausklammern. Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbineDas war nicht böse gemeint.


Nein, da war ich auch nicht von ausgegangen. Ich hab nur den Witz nicht kapiert. Augenzwinkern

Also mal langsam... ich soll jetzt ausklammern? Das ist doch ein totaler Zirkelschluss... da mache ich doch im Endeffekt nichts. Bei der Addition sieht das ja alles logisch aus, aber da hat man ja auch ein bißchen was gemacht.

Wenn ich dann schreibe, dass gilt: ,

wozu war dann die ganze Rechnerei (naja das hört sich etwas drastisch an, soviel war es ja nicht Big Laugh ) überhaupt da?

Und Lambda kann nicht negativ sein?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich mach mir mal die Arbeit und schreibe das sauber auf. . also kann auch negativ sein. Augenzwinkern Sei nun , wie sieht es dann aus mit



wieder müssen wir das einzig gegebene nutzen:



Nun kann aber gelten, und damit sind wir raus. Es ist kein Untervektorraum.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, es ist gar keiner? *LOL* diese Eventualität hatte ich gar nicht mehr in Betracht gezogen. Hammer

Ich bin doch manchmal wirklich der größte... na lassen wir das.

Jedenfalls vielen Dank für deine Hilfe und dein Geduld, tigerbine. Vielleicht kriege ich die Aufgaben b) und c) ja jetzt allein hin. Big Laugh

Grüße,
Mulder
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