Beweis der Konvergenz

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rosa Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Konvergenz
Hallo zusammen,

also ich versuche folgendes zu beweisen, was mir bisher nicht gelungen ist. Ich habe mehrere Ansätze gefunden, die mich alle nicht zum Ziel geführt habe. Da hier den Leuten immer so schön geholfen wird, habe ich mich dazu entschlossen, dass mal hier zu veröffentlichen, um einige Denkstöße zu bekommen.
Und zwar lautet die Aufgabe folgendermaßen:
Sei eine Folge mit für alle . Beweisen Sie, dass genau dann konvergent ist, wenn es einen Index so gibt, dass für alle ist.

Ich habe versucht, dies anhad des folgenden Satzes zu beweisen:
Eine reelle Folge konvergiert gegen , wenn es zu jeder positiven Zahl einen Index so gibt, dass für alle Indizes stets ist. Entweder hat dieser Satz nichts mit dem zu tun, was ich beweisen muss oder ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht...

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Konvergenz
Da sind 2 Richtungen zu zeigen.
Die Richtung:
"Es gibt einen Index , so dass für alle ist ==> Folge a_n konvergiert"
ist leicht zu zeigen und liegt quasi auf der Hand.

Bei der Richtung
"Folge a_n konvergiert ==> es gibt einen Index , so dass für alle ist"
wähle epsilon = 1/2 und nutze die Tatsache, daß die Folge nur aus ganzen Zahlen besteht.
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Latex-Verbesserung smile hoffentlich klappts jetzt besser.

zu der ersten Richtung, würde ich das so machen:

Für jedes und jedes gilt:
wenn gesetzt wird, ist somit ist bewiesen, dass die Folge konvergiert!
Bei der zweiten Richtung komme ich aber nicht wirklich weiter...
also sei
dann gilt doch wieder: |a_n -a| = 0 < 0,5 hmmm verwirrt

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rosa
zu der ersten Richtung, würde ich das so machen:

Für jedes und jedes gilt:
wenn gesetzt wird, ist somit ist bewiesen, dass die Folge konvergiert!

Prinzipiell der richtige Gedanke, aber formal ist das noch ein bißchen wackelig.

Erstmal ist . Zweitens wird nicht gesetzt, sondern es ist laut Voraussetzung für alle n mit n >= n_0. Daher gibt es ein n_0, so daß für jedes beliebige epsilon ist.

Zitat:
Original von rosa
dann gilt doch wieder: |a_n -a| = 0 < 0,5 hmmm verwirrt

Nein, es gilt erstmal für n >= einem n_0. Die a_n liegen also in welchem Intervall?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
also in welchem Intervall?


im Intervall von 0 bis 0,5
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nöö. a könnte meinetwegen 10 sein. Wenn die a_n irgendwo zwischen 0 und 1/2 sind, dann sind die etwas weit weg von a, oder?
 
 
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

also für alle positive Zahlen?
Intervall:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Das wäre jetzt ein bißchen viel.

Mal dir doch mal irgendwo auf dem Zahlenstrahl die zahl a hin. Jetzt sollen die Folgenglieder a_n so liegen, daß ist. In welchem Bereich müssen die dann sein?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

a kann doch irgendeine beliebige Zahl sein oder nicht?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

also: [0;a] oder kann a auch negativ sein verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rosa
also für alle positive Zahlen?
Intervall:


Im Übrigen ist , dieses Intervall existiert also nicht. Wenn, dann heißt es: smile

air
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

smile danke für den Hinweis Airblader! Vielleicht kannst du mir ja noch einen Hinweis dazu geben, wie ich die Aufgabe jetzt weiter löse? Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rosa
a kann doch irgendeine beliebige Zahl sein oder nicht?

Ja.

Zitat:
Original von rosa
also: [0;a] oder kann a auch negativ sein verwirrt

Unfug.

Also da lasse ich jetzt nicht locker. Nehmen wir mal a=10. Für welche Zahlen b gilt dann ?

Das ist nebenbei bemerkt Stoff der Mittelstufe. Augenzwinkern
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit


Das ist nebenbei bemerkt Stoff der Mittelstufe. Augenzwinkern


geschockt manchmal muss ich 4/2 im Taschenrechner eingeben. Das ist Stoff der Primarstufe Big Laugh

Wieder zur Sache:
für b könnte man alle Zahlen einsetzen, die kleiner sind als 10,5
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rosa
für b könnte man alle Zahlen einsetzen, die kleiner sind als 10,5

So, so. Auch b=9 ?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alle Zahlen, die zwischen 10 und 10,5 liegen! aber die Zahl 10,5 selber nicht!
unglücklich peinlich peinlich Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ja, ein paar Zahlen mehr könnten es schon sein: 9,5 < b < 10,5 Augenzwinkern

Kommen wir nun wieder zu . In welchem Intervall liegen die a_n ?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

hoffentlich ist meine Antwort richtig, denn langsam wirds mir richtig peinlich unglücklich

I [(a-0,5)traurig a+0,5)] ?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich sollte dazwischen kein heulender smiley hin smile

I [(a-0,5) ; (a+0,5)]
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir noch runde Klammern drumherum machen, dann haben wir
I = ((a-0,5) ; (a+0,5)])

(schwere Geburt Augenzwinkern )

Jetzt überlege mal, wie lang dieses Intervall ist und wieviel ganze Zahlen dort vorkommen können.
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

Jetzt überlege mal, wie lang dieses Intervall ist .


ich würde mal sagen 1!?

also kann da nur eine ganze Zahl vorkommen? die 1?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rosa
also kann da nur eine ganze Zahl vorkommen? die 1?!

Hüstel, hüstel. Wir hatten ja in unserm Beispiel mit a=10 gesehen, daß da die 1 ganz gewiß nicht in dem Intervall zu finden ist. smile

Also welche ganze Zahl in dem Intervall liegt, ist belanglos. Entscheidend ist, daß es eine und nur eine ist. Das heißt also, in dem Intervall gibt es irgendwo genau eine ganze Zahl a'. Da die Folge a_n in diesem Intervall drin liegt und nur aus ganzen Zahlen besteht, was muß dann wohl gelten?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

das a_n diese ganze Zahl ist?

nebenbei möchte ich mich mal für deine Geduld bedanken....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und was war nochmal zu zeigen?
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

dass es einen Index n_0 gibt, so dass a_n=a für alle n_0>n ist
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau das haben wir jetzt gezeigt, oder? smile
rosa Auf diesen Beitrag antworten »

ähm... also tut mir leid, wenn ich dich jetzt weiterhin nerve, aber welches ist denn der Index n_0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das wissen wir nicht. Wir wissen aber wegen der Konvergenz der Folge a_n, daß es eine Zahl n_0 gibt, so daß eben ist für alle n > n_0. Da es in dem betreffenden Intervall nur eine ganze Zahl geben kann und alle a_n dort drin liegen und obendrein ganzzahlig sind, sind alle a_n ab dem Index n_0 identisch mit dieser einer ganzen Zahl. Und das war zu zeigen. Mehr nicht.
Ash Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss beweisen, dass

Eine reelle Folge konvergiert gegen , wenn es zu jeder positiven Zahl einen Index so gibt, dass für alle Indizes stets ist.

Reicht denn dann nicht aus, wenn ich einfach zeige, dass für alle gilt:



wieso reciht das nicht aus, wieso muss ich ein beispiel durchrechnen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ash
Also ich muss beweisen, dass

Eine reelle Folge konvergiert gegen , wenn es zu jeder positiven Zahl einen Index so gibt, dass für alle Indizes stets ist.

Das muß man nicht beweisen, das ist die Drfinition des Grenzwerts.

Zitat:
Original von Ash
Reicht denn dann nicht aus, wenn ich einfach zeige, dass für alle gilt:



Verstehe nicht, was du damit sagen willst. Das wäre doch nur der Fall, wenn a_n = a wäre.

Zitat:
Original von Ash
wieso reciht das nicht aus, wieso muss ich ein beispiel durchrechnen?

Verstehe auch diese Frage nicht.

Im übrigen wird das Thema ausführlich in Kovergenz einer konstanten Folge
diskutiert.
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