Konvergenz (Beweis) - Seite 2

15.11.2007, 17:05

zabaione

ich muss zwei nenner erst gleichnamig machen, um es subtrahieren zu können?

15.11.2007, 17:06

klarsoweit

Bevor du das machst, solltest du erstmal schreiben, welche Brüche übrig bleiben. Könnte ja sein, daß du mit den falschen Brüchen rechnest. Augenzwinkern

15.11.2007, 17:11

zabaione

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

???

15.11.2007, 17:20

zabaione

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das sieht falsch aus verwirrt

zerlegen darf man die brüche wohl auch nicht. wenn ich die brüche zerlege, bekomme ich nämlich = 0 raus. aber das ergebnis muss ja >0 sein... unglücklich

hmmm....

15.11.2007, 21:09

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+2} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte: Du solltest das LESEN, was man fuer dich schreibt.

15.11.2007, 22:12

zabaione

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Zitat:

Original von WebFritzi
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+2} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte: Du solltest das LESEN, was man fuer dich schreibt.

auch wenn ich mehrere male gelesen habe, was man für mich geschrieben hat, verstehe ich nicht wie du auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+2} = 0 \end{eqnarray*}$ kommst verwirrt

ich sollte doch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1}- ... - \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ und dann sollte ich die brüche zusammenfassen, was ich nicht hinbekommen habe

15.11.2007, 22:53

klarsoweit

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Streich doch mal die Brüche raus, die wieder abgezogen werden. Welche Brüche bleiben dann übrig? Mache dir das meinetwegen an einem Beispiel mit n=2 klar.

15.11.2007, 22:56

zabaione

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$\begin{eqnarray*} 2 \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ somit kann ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n+2} - 2 \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
zusammenfassen zu: $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

dann habe ich da folgendes stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2}- \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 22:59

zabaione

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Zitat:

Original von klarsoweit
Streich doch mal die Brüche raus, die wieder abgezogen werden. Welche Brüche bleiben dann übrig? Mache dir das meinetwegen an einem Beispiel mit n=2 klar.

ok, dann fällt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ weg

und die anderen beiden brüche habe ich ja schon zusammengefasst!

dann steht da

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ hmmm... das ist aber kleiner als 0

15.11.2007, 23:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} 2 \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ somit kann ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n+2} - 2 \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
zusammenfassen zu: $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$
Somit kann ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen zu: $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Bruch -1/2n entfällt, da es dazu einen entsprechenden positiven Summanden gibt. Ebenso entfällt der Bruch 1/(n+2). Übrig bleibt noch der Bruch 1/(2n+1) Wie gesagt: überlege dir das an einem Beispiel.

EDIT: um es auf einen Punkt zu bringen:
Übrig bleiben der folgende Term:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 23:09

zabaione

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hmm... das habe ich doch oben schon hingeschrieben. ok, dann nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2n} = 0 \end{eqnarray*}$

und die anderen beiden brüche habe ich ja schon zusammengefasst!

dann steht da

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ hmmm... das ist aber kleiner als 0

15.11.2007, 23:10

klarsoweit

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Hatte noch etwas editiert:

Zitat:

Original von klarsoweit
EDIT: um es auf einen Punkt zu bringen:
Übrig bleiben der folgende Term:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

EDIT: und gute Nacht.

15.11.2007, 23:23

zabaione

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ok, dann steht da nur noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} > 0 \end{eqnarray*}$ mit dem monotonieprinzip gilt dann, dass a_n konvergent ist

16.11.2007, 02:01

zabaione

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zu $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} b_n = x_1 \frac{2k-1}{2k} + ... + x_n \frac{2k-1}{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = x_1 \frac{2k-1}{2k} + ... + x_n \frac{2k-1}{2k} < nx_1 \frac{2k-1}{2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2kx_1-x_1}{2k} + ... + \frac{2kx_n-1}{2k} < \frac{n2kx_1-1}{2k} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

16.11.2007, 09:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
ok, dann steht da nur noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} > 0 \end{eqnarray*}$

Unfug.

Rechne doch wenigstens die Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ richtig zusammen.

Zitat:

Original von zabaione
Sei $\begin{eqnarray*} x_k= x_1*...*x_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= x_k \frac{2k-1}{2k} \end{eqnarray*}$

Stand das so in der Aufgabe? Oder gibt es da noch eine Angabe? Momentan habe ich da noch keinen rechten Zugang.

16.11.2007, 10:08

zabaione

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - 2 (\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$
so????

für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ steht in der Aufgabe:
Notation: $\begin{eqnarray*} x_k=x_1...x_n \end{eqnarray*}$
für alle n Element N sei $\begin{eqnarray*} b_n= x_k (\frac{2k-1}{2k} ) \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

16.11.2007, 10:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - 2 (\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Du kannst doch nicht einfach einen Faktor 2 vor einen Bruch kleben. Das war mir weiter oben auch schon aufgefallen.

Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{2}{2n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Das ist dann wieder richtig. Fasse die beiden Brüche zusammen und schau, ob das dann > 0 ist.

Bei der anderen Aufgabe habe ich noch immer keinen Zugang. Ich wüßte nicht, wie die Folge b_n beispielhaft aussehen sollte. Entweder stimmt die Aufgabenstellung nicht oder ich habe da ein Brett vorm Kopf. Kannst du da mal nachfragen?

16.11.2007, 10:32

zabaione

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wenn ich für n=1 einsetze, dann sieht man, dass die folge kleiner 0 ist!

für b_n frage ich da nochmal nach!

16.11.2007, 10:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
wenn ich für n=1 einsetze, dann sieht man, dass die folge kleiner 0 ist!

So, so: $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 - \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ ist ???

16.11.2007, 10:38

zabaione

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peinlich, peinlich!

die Folge ist >0 und somit monoton wachsend. Da sie sowohl monoton wachsend, als auch beschränkt ist, ist sie also konvergent. danke!

16.11.2007, 10:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
die Folge ist >0 und somit monoton wachsend.

Irgendwie hast du den Gesamtzusammenhang nicht wirklich verstanden.
Es ging nicht darum, daß die Folge > 0 ist (was zwar stimmt), sondern darum, daß die Differenz zweier aufeianderfolgender Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt dann die Monotonie der Folge.

16.11.2007, 11:00

Teddy

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RE: Konvergenz (Beweis)

Zitat:

Original von klarsoweit
[quote]Original von zabaione
Für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=n+1}^{2n}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Da die harmonische Reihe divergiert, ist nicht einzusehen, warum die obere Hälfte konvergieren sollte. Oder sehe ich das falsch?

16.11.2007, 11:20

klarsoweit

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RE: Konvergenz (Beweis)
Wie man leicht sieht, fängt die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ mit zunehmenden n immer später an. Das ist also nicht die komplette harmonische Reihe. Und wie wir gesehen haben, ist a_n nach oben beschränkt und monoton steigend. Also konvergiert die Summe. Punkt. Aus. Ende.

16.11.2007, 19:50

zabaione

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Hallo nochmal,

ich habe wegen $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nochmal nachgefragt. In der Aufgabenstellung war ein Fehler drin. Und zwar lautet sie so:

Notation:
Mit $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ bezeichnet man das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n x_k= x_1 \cdot ... \cdot x_n \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} b_n = \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

16.11.2007, 21:03

WebFritzi

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Zeige, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ monoton faellt, und dass sienach unten durch Null beschraenkt ist. Dazu kannst du zeigen, dass eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit positiven Gliedern genau dann monoton faellt, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1 \end{eqnarray*}$ gilt fuer alle n.

16.11.2007, 21:10

zabaione

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bevor ich hier mit einer falschen Folge experimentiere, ist das richtig, dass für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2(x_1)-1}{2x_1} * ... * \frac{2(x_n)-1}{2x_n} \end{eqnarray*}$ ?

16.11.2007, 21:32

WebFritzi

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Nein. Was soll denn $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ sein? Du hast doch deine Folge definiert bekommen. In der Definition des Produktes sind die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nur Platzhalter. In deiner Folge sind die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ explizit gegeben.

16.11.2007, 21:52

zabaione

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stimmt, also:

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \end{eqnarray*}$ ?

16.11.2007, 22:11

zabaione

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$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}= \frac{1}{2} * ... * \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Da alle Folgenglieder von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ positiv sind, gilt, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ genau dann monoton fallend ist, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n+1}{2n+2}}{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

hmmm... wenn ich n=1 setze, kommt da aber eine Zahl größer 1 raus verwirrt

kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist?

17.11.2007, 13:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n+1}{2n+2}}{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

hmmm... wenn ich n=1 setze, kommt da aber eine Zahl größer 1 raus verwirrt

kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist?

Nun, dann schreib dir doch mal die ersten 5 Folgenglieder auf... Du wirst dabei auch sehen, dass du n=1 falsch eingesetzt hast.

17.11.2007, 15:20

zabaione

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ok, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n+1}{2n+2}}{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

somit ist bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

jetzt muss ich noch beweisen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{2} *...* \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ n Summanden hat, gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \leq n(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{n}{2}) \end{eqnarray*}$

hmmm.... und jetzt? verwirrt

17.11.2007, 16:09

zabaione

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uppps, da fällt mir auf, das was ich da oben geschrieben habe, kann gar nicht stimmen. es muss ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \geq \frac{1}{2} *...* \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ n Summanden hat, gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \geq n(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \geq \frac{n}{2}) \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt sagen:

somit sieht man, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nach unten beschränkt ist?

17.11.2007, 17:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n+1}{2n+2}}{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

somit ist bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Also ehrlich gesagt, kann ich das daran nicht erkennen.

Zitat:

Original von zabaione
Da $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ n Summanden hat, gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n} \geq n(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Da die Summanden nicht addiert werden, kommt nicht da gewiß nicht $\begin{eqnarray*} n\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ raus, wenn du jeden faktor mit 1/2 abschätzt.

Aber warum so kompliziert? Jeder Faktor ist positiv, also ist auch b_n immer positiv. Augenzwinkern

17.11.2007, 18:07

zabaione

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Zitat:

Original von klarsoweit
Aber warum so kompliziert? Jeder Faktor ist positiv, also ist auch b_n immer positiv. Augenzwinkern

[quote]Original von zabaione

ist denn b_n nach unten beschränkt, wenn es positiv ist? verwirrt

17.11.2007, 18:54

klarsoweit

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Nun ja, man könnte meinen, daß Null eine untere Schranke ist. Drunter geht's nicht, oder? Big Laugh

17.11.2007, 21:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von zabaione
ok, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n+1}{2n+2}}{ \frac{1}{2} * ... * \frac{2n-1}{2n}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Kannst du auch erklären, warum das so ist?

17.11.2007, 22:40

zabaione

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Zitat:

Original von WebFritzi

Kannst du auch erklären, warum das so ist?

nein!

18.11.2007, 03:36

WebFritzi

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Dann überleg mal ein bisschen. Stichwort: kürzen!