Konvergenz (Beweis)

15.11.2007, 14:41

zabaione

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Konvergenz (Beweis)

Hallo

Wink

ich sehe, dass es auffällig viele Themen zu Konvergenz eröffnet wurden. Kämpfe momentan auch mit der Konvergenz... Ich habe mir die Themen zwar durchgelesen. Diese haben mich aber für die Lösung meines Problems nicht weiter gebracht. Deshalb stelle ich mein "Problem" mal hier rein und hoffe auf Hilfe smile

smile

Sei $\begin{eqnarray*} x_k= x_1*...*x_n \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=n+1}^{2n}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n= x_k \frac{2k-1}{2k} \end{eqnarray*}$
Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergent sind. Hmm... wie gehe ich da denn am besten vor?

Edit (DS): LaTeX

15.11.2007, 14:44

WebFritzi

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Erstmal solltest du die Aufgabe nochmal aufschreiben und die n's und k's an die richtigen Stellen setzen. So macht das alles keinen Sinn.

EDIT: Hö? Da hat wohl ein Mod nachgeholfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2007, 14:46

zabaione

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da wo "undefined control sequence" steht, wollte ich eigentlich hinschreiben, dass n ein element von N ist. Keine Ahnung, wieso das nicht geklappt hat verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 14:46

Dual Space

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geschockt

...

Augenzwinkern

15.11.2007, 14:46

zabaione

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Danke Dual Space smile

smile

15.11.2007, 14:47

WebFritzi

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@Zabaione: Ich habe meinen Beitrag editiert.
@Dual: Aha. Idee!

Idee!

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15.11.2007, 14:54

zabaione

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und zur aufgabe, kann mir keiner was zu sagen? smile

smile

15.11.2007, 15:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von WebFritzi
@Zabaione: Ich habe meinen Beitrag editiert.

15.11.2007, 15:17

klarsoweit

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RE: Konvergenz (Beweis)

Zitat:

Original von zabaione
Für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=n+1}^{2n}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Eine Idee wäre, die Summanden nach oben geeignet abzuschätzen.

15.11.2007, 15:34

zabaione

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Zitat:

Original von WebFritzi
die n's und k's an die richtigen Stellen setzen.

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n = x_1 \frac{2k-1}{2k} + ... + x_n \frac{2k-1}{2k} \end{eqnarray*}$

klarsoweit das verstehe ich nicht?

15.11.2007, 15:45

WebFritzi

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@Zabaione: Zeige

$\begin{eqnarray*} 0\le a_n - a_{n-1} = \frac{1}{2n(2n-1)}\le\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 1 \end{eqnarray*}$

und damit dann

$\begin{eqnarray*} 0\le a_{n+k} - a_n \le \sum_{j=n+1}^{n+k}\frac{1}{j^2}. \end{eqnarray*}$

Den letzten kleinen Schritt musst du dann auch noch selber machen. Benutze dazu, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

15.11.2007, 15:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Vielleicht könnten wir uns erstmal nur darauf konzentrieren?

Was verstehst du nicht. Du sollst in der Summe jeden Summanden (außer dem ersten) nach oben durch einen geeigneten anderen Summanden abschätzen.

15.11.2007, 15:50

zabaione

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wie soll ich das denn machen? verwirrt

verwirrt

ich glaube ich verstehe nicht, was du meinst Forum Kloppe

Forum Kloppe

15.11.2007, 15:51

WebFritzi

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@klarsoweit: Ich verstehe dich auch nicht so ganz...

15.11.2007, 15:58

klarsoweit

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Nanu? Ich dachte das lag auf der Hand:

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} < \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

EDIT: Leider geht in dieser Pünktchenschreibweise die Anzahl der Summanden verloren. Wieviel sind dies?

15.11.2007, 16:03

zabaione

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Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} < \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn auf die rechte seite?

Zitat:

Original von klarsoweit
EDIT: Leider geht in dieser Pünktchenschreibweise die Anzahl der Summanden verloren. Wieviel sind dies?

das geht aus der Aufgabenstellung nicht hervor.

15.11.2007, 16:03

WebFritzi

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Tja, so einfach geht das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2007, 16:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von zabaione

Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} < \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn auf die rechte seite?

Das ist trivial. Aus a > b > 0 folgt 1/a < 1/b.

15.11.2007, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
das geht aus der Aufgabenstellung nicht hervor.

Na, na.

unglücklich

Du wirst doch noch sagen können, wieviel Summanden das sind:

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:07

zabaione

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hmmm... theoretisch könnte das doch immer so weiter gehen mit

n+1, n+2, n+3, n+4 oder nicht? verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 16:09

WebFritzi

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Puhhh, nimm dir doch mal n = 3, n = 4 und n = 5 als Beispiel und sag uns, wieviele Summanden du rausbekommen hast.

Eine Hilfe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+n}. \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:16

zabaione

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Hammer

es gibt n Summanden

15.11.2007, 16:19

klarsoweit

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Also was kann man auch für die rechte Seite schreiben:

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{2n} < \frac{1}{n+1} + ...+ \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:22

zabaione

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$\begin{eqnarray*} n \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ oder? daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1+n \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von zabaione
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} = 1+n \end{eqnarray*}$

Autsch.

15.11.2007, 16:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1+n \end{eqnarray*}$

Setzen wir mal n=1 ein:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1} = 0,5 = 1+1 = 2 \end{eqnarray*}$

Und schon widerlegt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: sag mal. Bist du wirklich an einer Hochschule? verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 16:28

zabaione

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ja, aber ich studiere nicht mathe sondern informatik! und im programmieren bin ich viel besser als in mathe Augenzwinkern

Augenzwinkern

im bruch dachte ich:

n/n = 1
n/1= n

verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 16:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von zabaione
im bruch dachte ich:

n/n = 1
n/1= n

Dies ist richtig. Man kann es hier aber nicht benutzen.

EDIT: Ich find's eigentlich ziemlich krass, dass du auf einer Hochschule bist und nicht bruchrechnen kannst...

15.11.2007, 16:31

klarsoweit

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Also daß es so nicht geht, siehst du selbst. Jetzt verstehe ich auch, warum es soviel schlechte Software gibt. Big Laugh

Big Laugh

Also laß mal den Bruch so stehen. Worauf es ankam, war, daß die Summe so vereinfacht wird, daß man sieht, daß diese nach oben beschränkt ist. Und offensichtlich ist der Bruch immer kleiner als 1.

15.11.2007, 16:32

zabaione

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dann habe ich da also stehen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n+1} + .. + \frac{1}{2n} < 0,5 \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Und offensichtlich ist der Bruch immer kleiner als 1.

Jo. Das heißt, es muss nur noch bewiesen werden, dass die Folge monoton wächst.

15.11.2007, 16:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
dann habe ich da also stehen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n+1} + .. + \frac{1}{2n} < 0,5 \end{eqnarray*}$

Auch das stimmt schon für n=2 nicht.

Das ist doch einfach nur willenlos, was du hier machst.

15.11.2007, 16:38

zabaione

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dann steht da:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} < \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

jetzt setze ich: $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

bin ich auf dem richtigen weg?

15.11.2007, 16:44

WebFritzi

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Nein. Du musst auch mal die Beiträge lesen, die für dich geschrieben werden. Es soll gezeigt werden, dass deine Folge konvergiert. Eine Möglichkeit ist zu zeigen, dass sie monoton wächst und beschränkt ist. Die Beschränktheit hast du jetzt (fast). Es bleibt zu zeigen, dass die Folge monoton steigt.

15.11.2007, 16:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von zabaione
jetzt setze ich: $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

bin ich auf dem richtigen weg?

Was ist denn das wieder für ein Unfug? verwirrt

verwirrt

Wir haben gezeigt, daß die Folge nach oben beschränkt ist. Das war Teil 1 der Arbeit.

Jetzt kommt Teil 2: zeige, daß die Folge monoton steigt.

Zeige dazu $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n > 0 \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:53

zabaione

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für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} =\frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

also ist
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{n+2}-...- \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 16:54

zabaione

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Zitat:

Original von zabaione

also ist
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{n+2}-...- \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

upps, das muss so aussehen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{n+1}-...- \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

15.11.2007, 16:57

klarsoweit

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unglücklich

Da hast du bei $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ einen Summanden (und zwar den letzten) verschlampert.

15.11.2007, 16:58

zabaione

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upps, stimmt. es muss natürlich: 2n+2 sein!

15.11.2007, 17:00

klarsoweit

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OK. Jetzt überlege, welche Summanden übrig bleiben.

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