Parallelogramm

15.11.2007, 14:55

Smith

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Parallelogramm

Hallo!
Habe leider mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht so ganz durchblicke..aber ich glaube mir fehlen nur ein paar kleine Ansätze:

Parallelogramm:
A(3|5|5)
B(3|8|1)
D(8|4|-2)

gesucht:

der Punkt C

der Flächeninhalt

die Innenwinkel: alpha, beta

der Schnittpunkt E der Diagionalen und der Schnittwinkel der Diagonalen

spiegle E an den Parallelogrammseiten

Also a) und b) hab ich...
a) C(8|7|-6)
b) A= 35,35533906 AE

und jetzt versuche ich mich gerade an c)..also die Winkel zusammen sind 360° und alpha plus beta sind 180°..aber wie komme ich jetzt weiter?

danke im vorraus smile

smile

lg Smith

15.11.2007, 14:57

Dunkit

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Für die c):
Rechnet ihr schon mit Vektoren? Ich denke ja.
Dann solltest du eine Formel kennen für den Winkel zwischen zwei Vektoren...

15.11.2007, 15:00

Smith

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aaah stimmt..danke!
also berechne ich dann einfach z.b. für alpha den winkel zwischen
$\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \vec{AD} \end{eqnarray*}$ und die addiere ich dann..?

15.11.2007, 15:20

riwe

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Zitat:

Original von Smith
aaah stimmt..danke!
also berechne ich dann einfach z.b. für alpha den winkel zwischen
$\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \vec{AD} \end{eqnarray*}$ und die addiere ich dann..?

zu c)

$\begin{eqnarray*} \alpha=\angle{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})} \end{eqnarray*}$
mehr gibt´s da nicht zu rechnen, ist doch ein parallelogramm unglücklich

unglücklich

15.11.2007, 15:29

Smith

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aaah wieso denk ich bloß so kompliziert ^^
okey, dann habe ich jetzt c) gelöst
ich habe für alpha~54,73° und für beta~125,26°
jetzt mache ich d)
bei d) muss ich nur zwei geraden für die diagonalen aufstellen und diese schneiden und so erhalte ich E
und den schnittwinkel erhalte ich auf die gleich weise wie ich alpha und beta berechnet habe?

15.11.2007, 15:41

mathe760

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ich würde sagen ja.

Aber jetzt mal was anderes: Habt ihr mit 15 schon Vektoren in der Schule, oder machst du das einfach so??

Und kannst du vielleicht mal deinen Lösungsweg für a beschreiben(!) Nicht rechnen!

Bis denn mathe760 Wink

Wink

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15.11.2007, 15:47

riwe

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Zitat:

Original von Smith
aaah wieso denk ich bloß so kompliziert ^^
okey, dann habe ich jetzt c) gelöst
ich habe für alpha~54,73° und für beta~125,26°
jetzt mache ich d)
bei d) muss ich nur zwei geraden für die diagonalen aufstellen und diese schneiden und so erhalte ich E
und den schnittwinkel erhalte ich auf die gleich weise wie ich alpha und beta berechnet habe?

dem ist beizustimmen unglücklich

unglücklich

PARALLELOGRAMM Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}) \end{eqnarray*}$

und mit den beiden diagonalen $\begin{eqnarray*} e_i \quad{ }i=1,2 \end{eqnarray*}$ hast du

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_i=\overrightarrow{AB}\pm\overrightarrow{AD} \end{eqnarray*}$

rest Freude

Freude

edit: fehler bei der berechnung von E behoben

15.11.2007, 17:01

Smith

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ja, wir haben schon seit letztem jahr vektoren

a) hab ich so berechnet:
$\begin{eqnarray*} \vec{OC} = (\vec{OB} + \vec{AD}) \end{eqnarray*}$

und zu c): wenn ich es mit
$\begin{eqnarray*} \vec{OE} = \frac{1}{2} * (\vec{AB} + \vec{AD}) \end{eqnarray*}$ rechne, kommt ein anderes ergebnis ( $\begin{eqnarray*} \vec{OE} = \begin{pmatrix} \frac{11}{2} \\ 4 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) heraus, als wenn ich zwei geraden aufstelle und diese schneide ( $\begin{eqnarray*} \vec{OE} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ 1 \\ -\frac{11}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )..und wenn ich die punkte einsetze in die geraden für die diagonalen, dann sehe ich dass mein punkt auf den geraden liegt, deiner aber nicht. was stimmt jetzt?

15.11.2007, 17:17

riwe

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Zitat:

Original von Smith
ja, wir haben schon seit letztem jahr vektoren

a) hab ich so berechnet:
$\begin{eqnarray*} \vec{OC} = (\vec{OB} + \vec{AD}) \end{eqnarray*}$

und zu c): wenn ich es mit
$\begin{eqnarray*} \vec{OE} = \frac{1}{2} * (\vec{AB} + \vec{AD}) \end{eqnarray*}$ rechne, kommt ein anderes ergebnis heraus, als wenn ich zwei geraden aufstelle und diese schneide..

@riwe: wie meinst du denn das mit i?

ja das ist ein schlampigkeitsfehler von mir, richtig ist natürlich:

$\begin{eqnarray*} \vec{OE} = \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} * (\vec{AB} + \vec{AD}) \end{eqnarray*}$
ich muß das zeugs ja bei A anhängen,
und das sollte E(5.5/6/-0.5) ergeben.

mit i =1,2 meine ich, dass es 2 diagonalen gibt, eine ist die summe, die andere die differenz der beiden vektoren

15.11.2007, 17:36

mathe760

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eEne Frage Smith: Zu welcher Schule und in welche Klasse gehst du denn, dass du jetzt schon Vektoren hast??

Bis denn mathe760 Wink

Wink

15.11.2007, 17:41

riwe

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mit deinen geraden

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -11 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \to s=t=\frac{1}{2}\to E(5.5/6/-0.5) \end{eqnarray*}$

beachte den wert von s und t unglücklich

unglücklich

15.11.2007, 17:42

Smith

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okey, jetzt habe ich den punkt E
jetzt berechne ich den schnittwinkel indem ich den winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \end{eqnarray*}$ berechne, oder?

15.11.2007, 17:44

Smith

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ja, mir is auch schon aufgefallen..da hab ich mich verrechnet mit den geraden
aber jetzt hab ich das richtige E..

@mathe760: ich gehe in österreich in eine AHS-Realgymnasium in die 6. Klasse..also in eurer schulstufen rechnung gehe ich in die 10. klasse

15.11.2007, 17:44

riwe

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Freude

15.11.2007, 17:50

Smith

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so, jetzt habe ich für den schnittwinkel ~54,73°
kann das stimmen?

so und nun zum letzten punkt d) Big Laugh

Big Laugh

wie soll ich E rechnerisch in alle 4 richtungen spiegeln? bzw. welche strecke muss ich da addieren/subtrahieren?

15.11.2007, 19:31

Smith

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ist noch jemand on der mir bei dem letzten punkt d) helfen kann? smile

smile

15.11.2007, 20:04

riwe

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ich male es mal für die spiegelung an $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ her verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ sei der lotpunkt von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ der gesuchte spiegelpunkt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{ON}_1=\overrightarrow{OA}+\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}}{\mid \overrightarrow{AB}\mid²}\cdot \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OE}_1=\overrightarrow{ON}_1+\overrightarrow{EN}_1\to E_1(0.5/10/2.5) \end{eqnarray*}$

lust auf mehr verwirrt

verwirrt

in worten: "auf AB senkrechte durch E um die länge 2 EN von E aus abtragen"

im prinzip sollte es stimmen, ob der wert auch stimmt, ich denke schon, aber wer weiß das schon

ich warte auf deine reaktion

edit: vielleicht etwas klarer:
lege eine zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ senkrechte ebene durch E, schneide sie mit der geraden $\begin{eqnarray*} g_{AB} \end{eqnarray*}$ , das ist der lotpunkt $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$

und nun hast du

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OE}_1=\overrightarrow{ON}_1+\overrightarrow{EN}_1 \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 20:32

Smith

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okey, danke!
und für die andere seite muss ich dann einfach
$\begin{eqnarray*} \vec{OE1} = \vec{ON1} - \vec{EN1} \end{eqnarray*}$ rechnen?

und wie spiegle ich E auf die horizontalen seiten?

15.11.2007, 20:38

riwe

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a) was ist die andere seite?
b) was ist die horizontale seite

den lotpunkt N mußt du für jede seite berechnen nach demselben schema geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{ON}_2=\overrightarrow{OB}+\frac{\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BC}}{\mid\overrightarrow{BC}\mid²}\cdot\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OE}_2=\overrightarrow{ON}_2+\overrightarrow{EN}_2 \end{eqnarray*}$

für die spiegelung an $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$

ich mal dir noch ein bilderl,
bitte warten unglücklich

unglücklich

15.11.2007, 20:44

Smith

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aaah..das geht ja so leicht ^^ da brauch ich ja garnichts schneiden..aber wie kommst du auf diese formeln für $\begin{eqnarray*} \vec{ON1}, \vec{ON2} \end{eqnarray*}$ und so

15.11.2007, 20:59

riwe

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dazu das versprochene bilderl

zum verständnis: der lotpunkt $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ kann auch als projektion von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AE} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ aufgefaßt werden,
das entspricht $\begin{eqnarray*} \mid\overrightarrow{AE}\mid cos\alpha \end{eqnarray*}$ und multiplikation mit dem entsprechenden einheitsvektor.

aus dem skalarprodukt hast du nun

$\begin{eqnarray*} \mid\overrightarrow{AE}\mid cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}}{\mid\overrightarrow{AB}\mid} \end{eqnarray*}$

und daher

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AN}_1=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}}{\mid\overrightarrow{AB}\mid}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\mid\overrightarrow{AB}\mid}=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}}{\mid\overrightarrow{AB}\mid²}\cdot\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

15.11.2007, 21:16

Smith

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okay, danke!
aber ich bin mir nur nicht sicher, ob ich das bei der hausübung so hinschreiben kann, weil ich von selbst nie auf diese idee gekommen wäre, sondern es mit dem schnitt von geraden berechnet hätte..
gibts auch die möglichkeit die spielgelungen von E mit dem schnitt von geraden zu berechnen?

15.11.2007, 21:31

riwe

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lies meinen beitrag von 20:04
senkrechte ebene durch E......, damit bekommst du auch den punkt N.

aber wieso nichts neues verwenden, man kann sich ja auch schlau machen verwirrt

verwirrt

15.11.2007, 21:33

Smith

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aber wieso eine ebene senkrecht auf AB legen..und nicht eine gerade?
und wie lauten die richtungsvektoren dieser ebene?

15.11.2007, 22:04

riwe

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weil es "zuviele" geraden gibt.
und alle diese geraden liegen in der ebene......
der normalenvektor der ebene lautet
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

edit: wenn du unbedingt eine lotrechte gerade durch E brauchst, verwende

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\times\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$
als richtungsvektor.
er liegt in E und steht senkrecht auf AB.

19.11.2007, 20:36

Smith

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sorry, dass ich erst jetzt schreibe, aber mein internet hat die letzten tage nicht funktioniert. ich habe die aufgabe übrigens dank deiner hilfe geschafft Big Laugh

Big Laugh

danke nochmal!

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