Grenzwert einer Funktion beweisen

16.11.2007, 10:23

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwert einer Funktion beweisen

hallihallo,

ich hab folgende Aufgabe:

"Um zu beweisen, daß y = x * sind(1/x) an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert 0 hat, gebe man zu $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon) > 0 \end{eqnarray*}$ an, so daß aus $\begin{eqnarray*} 0 < |x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} |x * sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

was genau muss ich den jetzt machen, wie geh ich da ran?

16.11.2007, 10:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Funktion beweisen

Zitat:

Original von jörgen
an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von jörgen
$\begin{eqnarray*} |x * sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Schreibe das so: $\begin{eqnarray*} |x| \cdot |sin(1/x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Schätze nun den Sinus geeignet nach oben ab.

16.11.2007, 10:45

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

abschätzen? was meinste den damit? verwirrt

verwirrt

wenn ich den sinus abschätze muss ich ja ein x nehmen das möglichst nahe an 1 ist, sonst wird die zahl ja kleiner..oder was meinst du mit "nach oben" ?

16.11.2007, 10:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Egal, welches x du nimmst: der Sinus bewegt sich in einem bestimmten Bereich. Entsprechend kannst du den Sinus nach oben abschätzen. Anders gesagt: welchen Wert kann der Betrag vom Sinus maximal haben?

16.11.2007, 10:57

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Egal, welches x du nimmst: der Sinus bewegt sich in einem bestimmten Bereich. Entsprechend kannst du den Sinus nach oben abschätzen. Anders gesagt: welchen Wert kann der Betrag vom Sinus maximal haben?

maximal sin(1) da ja 1 für die x die größte zahl in dem bruch gibt. der sin von 1 ist dann 0.84 im Bogenmaß ?!?

16.11.2007, 11:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jörgen
maximal sin(1) da ja 1 für die x die größte zahl in dem bruch gibt.

Hää?

verwirrt

Was soll denn der Unfug?

Wenn ich das richtig sehe, soll doch x gegen Null gehen. Das 1/x wird da beliebig groß.

Anzeige

16.11.2007, 11:30

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von jörgen
maximal sin(1) da ja 1 für die x die größte zahl in dem bruch gibt.

Hää?

verwirrt

Was soll denn der Unfug?

Wenn ich das richtig sehe, soll doch x gegen Null gehen. Das 1/x wird da beliebig groß.

tut mir leid, ich bin gestern nach der einführung dieses themas mit einem großen null-gecheckt gefühl nach haus gegangen....ich hab so überhaupt keinen plan davon was ich hier machen soll.

meinst du das 1/x dann gegen unendlich läuft?

16.11.2007, 11:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jörgen
meinst du das 1/x dann gegen unendlich läuft?

Das stimmt schon mal, ist aber nicht so dramatisch. Denn es wird ja noch der Sinus darauf angewendet. Und wenn man von einer Funktion keinen Plan hat, dann sollte man sich mal einen Plot anschauen:

Womit wir wieder zu der Frage kommen: Welchen Wert kann der Betrag vom Sinus (egal, ob da sin(hugo), sin(otto) oder sin(1/x) steht) maximal haben?

16.11.2007, 13:00

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

nach der abbildung maximal 1

d.h. da er gegen unendlich läuft aber bei sinus maximal 1 rauskommen kann is der grenzwert 1?

und da stünde

$\begin{eqnarray*} |x| * 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

?

16.11.2007, 13:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jörgen
d.h. da er gegen unendlich läuft aber bei sinus maximal 1 rauskommen kann is der grenzwert 1?

Also das mit "Grenzwert 1" ist Unfug. Das ist der maximale Wert vom Betrag des Sinus. Am besten fangen wir nochmal von vorne an. Also es geht um:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~(x \cdot sin(1/x)) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man da für x mal ein paar Werte einsetzt, meinetwegen x=1/10, 1/100, 1/1000, dann kommt man auf die Idee, daß der Grenzwert Null sein könnte. Demzufolge ist zu zeigen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon) > 0 \end{eqnarray*}$ an, so daß aus $\begin{eqnarray*} |x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} |x \cdot sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ folgt.

Jetzt nehmen wir uns $\begin{eqnarray*} |x \cdot sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und stellen fest:
$\begin{eqnarray*} |x \cdot sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} |x| \cdot |sin(1/x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==
$\begin{eqnarray*} |x| \cdot 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Preisfrage: wenn man das jetzt mit $\begin{eqnarray*} |x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$ vergleicht, wie ist dann das delta zu wählen?

16.11.2007, 14:39

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

uff....

ich gestehe, ich hänge etwas mit der bedeutung von delta hinterher. Epsilon war ja der Bereich in dem sich der grenzwert meiner zahlenfolge hinbewegt bzw. beliebig annähert aber nicht erreicht.

und delta hat da welche Bedeutung? ich hab da schon recht viel zu gesucht, allerdings nix gefunden. scheinbar is die bedeutung von delta so selbstverständlich das sie nirgendwo erläutert ist. ich habe diverse skizzen in koordinatensystem gesehen wo auf der Y-achse der Epsilonschlauch dargestellt wird und von der X-Achse aus dieser Bereich x0 + delta bzw. x0 - delta.

allerdings ohne erfolg das zu verstehen.

was is delta? Forum Kloppe

Forum Kloppe

16.11.2007, 15:07

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jörgen
ich habe diverse skizzen in koordinatensystem gesehen wo auf der Y-achse der Epsilonschlauch dargestellt wird und von der X-Achse aus dieser Bereich x0 + delta bzw. x0 - delta.

allerdings ohne erfolg das zu verstehen.

was is delta? Forum Kloppe

Forum Kloppe

hier mal das besagte bild

http://i105.photobucket.com/albums/m239/souljumper/Unbenannt.jpg

16.11.2007, 15:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jörgen
Epsilon war ja der Bereich in dem sich der grenzwert meiner zahlenfolge hinbewegt bzw. beliebig annähert aber nicht erreicht.

Auch da unterliegst du schon einem Mißverständnis. Der Grenzwert bewegt sich nicht, sondern ist ein bestimmter Wert. Nun möchte man beschreiben, daß sich die Funktionswerte f(x) beliebig nahe an den Grenzwert g annähern, wenn man gleichzeitig sich mit dem x an die Stelle x_0 annähert. Dazu macht man folgende Überlegung:

Man wählt erstmal ein beliebiges epsilon > 0. Dann betrachtet man das Intervall (g - epsilon; g + epsilon). In dieses Intervall purzeln sicherlich etliche Funktionswerte. Alle derartigen Funktionswerte haben vom Grenzwert g maximal den Abstand epsilon. Man schreibt auch:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt überlegen wir, welche x-Werte es denn zu diesen Funktionswerten gibt. Vermutlich liegen die irgendwie in der Nähe von x_0. Möglicherweise gibt es nun ein delta > 0, so daß für alle x, die maximal den Abstand delta von x_0 haben, gilt, daß $\begin{eqnarray*} |f(x) - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

In Formel geschrieben heißt das:

$\begin{eqnarray*} |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn es nun möglich ist, zu jedem beliebigen (noch so kleinem) epsilon > 0, ein derartiges delta > 0 zu finden, dann wird die Zahl g Grenzwert der Funktion f an der Stelle x_0 genannt.

Diesen Zusammenhang müßtest du erstmal verstehen, sonst weißt du ja gar nicht, was du bei der Aufgabe rechnen sollst.

EDIT: das obige Bild von dir ist in diesem Zusammenhang recht gut. Vielleicht kannst du dir die Geschichte daran klar machen.

16.11.2007, 19:16

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

ich sag mal vom lesen her verstehe ich was du geschrieben hast, allerdings die kurve zur praktischen anwendung ist mir noch nicht ganz offenbart.

mit epsilon gebe ich einen bereich um den grenzwert an, jeweils grenzwert+epsilon und -epsilon. das is ja dann der bereich den ich untersuche?

und mit delta versuche ich das größte x zu bestimmen das innerhalb des Epsilon-schlauch liegt auf das $\begin{eqnarray*} |f(x)-g| <\epsilon \end{eqnarray*}$ zutrifft ?!

16.11.2007, 23:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jörgen
und mit delta versuche ich das größte x zu bestimmen das innerhalb des Epsilon-schlauch liegt auf das $\begin{eqnarray*} |f(x)-g| <\epsilon \end{eqnarray*}$ zutrifft ?!

Besser: mit delta versuchst du den Bereich der x-Werte auf der x-Achse um x_0 so einzuschränken, daß deren Funktionswerte innerhalb des Epsilon-Schlauches um g liegen.

17.11.2007, 10:43

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

ok......aber die aufgabe kann ich trotzdem nicht lösen. ich krieg die werten epsilon und delta irgendwie nicht richtig in meinem kopf dargestellt für dieses beispiel.

wie muss ich den delta wählen, damit das hier passt?

Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt nehmen wir uns $\begin{eqnarray*} |x \cdot sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und stellen fest:
$\begin{eqnarray*} |x \cdot sin(1/x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} |x| \cdot |sin(1/x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<==
$\begin{eqnarray*} |x| \cdot 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Preisfrage: wenn man das jetzt mit $\begin{eqnarray*} |x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$ vergleicht, wie ist dann das delta zu wählen?

17.11.2007, 12:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bitte, das ist doch jetzt kein Drama mehr.

Auf der einen Seite hast du $\begin{eqnarray*} |x| \cdot 1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Auf der anderen Seite steht $\begin{eqnarray*} |x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche das mal. Unterscheiden sich die linken Seiten? Wie muß man dann delta wählen, daß die 2. Ungleichung der ersten entspricht?

17.11.2007, 12:33

jörgen

Auf diesen Beitrag antworten »

....

die linken seiten sind gleich, im grunde bei beiden |x|, damit die zweite der ersten entspricht muss delta = epsilon sein oder nicht?

17.11.2007, 13:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hurra!

Freude

13.02.2019, 23:19

JustAQuestion

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer auch immer der klarsoweit ist, wenn du noch da bist, Euler segne dich!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »