satz von gauß

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ushi Auf diesen Beitrag antworten »
satz von gauß
hallo leute

ich soll die richtigkeit des gaußschen satzes an einem beispiel belegen. ich hab aber vorher noch ein paar grundlegende fragen. ich befürchte allerdings, dass wenn diese beantwortet sind, es noch zu weiteren fragen kommt.

1. wenn da steht:



V ist das volumen.
kann ich das auch so auffassen:



Wie kann ich mir V im xyz-koordinatensystem vorstellen?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ushi.

Den erlaubten Bereich für z hast Du schon erkannt. Wenn man die Ungleichung etwas umstellt ergibt sich



Das sieht dann für mich aus, wie ein Kegel der Höhe 4 mit Bodenradius 2.

Ich denke mittels Zylinderkoordinaten solltest Du auf ein passendes Volumen- bzw. Flächenelement kommen.
ushi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: satz von gauß
na gut. das beispiel:



V ist das Volumen, welches von der Oberfläche S eingeschlossen wird. ist der Normalenvektor der Oberfläche.





Kann ich annehmen, dass und somit ?

Oder muss ich das V da mit beachten? Was mach ich mit ?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Divergenz ist für das gegebene Feld richtig. Der Operator wirkt nur auf das Vektorfeld und nicht auf das Volumenelement.

Der Richtungsvektor ist auf dem Kegelmantel abhängig vom Polarwinkel ; beim Integrieren nicht die Bodenfläche vergessen.

Ich schlage vor, daß Du in Zylinderkoordinaten ausdrückst. Dann muß Du nur noch eine passende Form des Flächenelementes finden.
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

also:




wie mach ich das mit dem flächenelement?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ushi.

Der Radius ist hier keine Konstante, da ein Kegel vorliegt und kein Zylinder. Es muß gelten .

Die Flächennormale stimmt hinten und vorne nicht. Erstens ist ein Dreier-Vektor gefordert, zweitens muß die Länge des Vektors eins sein und drittens ist auch mit einer z-Komponente der Vektor nicht normal zur Kegeloberfläche.

Das Flächenelement kann man sich aus Berechnung von Mantelflächen von Rotationskörpern ableiten:



Wobei das Seitenelement des Kegelkörpers ist:



Dieser Ausdruck fordert eine Aufstellung der Beziehung für die Mantelfläche des Kegels.

- Versuche zuerst die Hilfestellungen nachzuvollziehen.
- Finde einen korrekten Ausdruck für den Normalenvektor.
- Bestimme das Seitenelement.
- Stelle das Integral auf.
 
 
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank erst einmal und guten morgen.

also ich hab jetzt:



damit:



und:



stimmt das erst einmal?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Die Flächennormale ist jetzt korrekt.

Ich habe auf meinem Zettel beim Feld r belassen und z eliminiert. Das hat sich angeboten, da das Flächenelement eine Integration über den Radius aufweist (Anmerkung: mir war in dem Ausdruck für das Flächenelement heute Nacht ein kleiner Lapsus unterlaufen, den ich am Morgen korrigiert habe).

Und nicht vergessen, daß der Kegel auch noch eine Bodenfläche hat, über die man integrieren muß.
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

wie bring ich die bodenfläche mit rein?

einfach:

und

und dann einfach mit in das integral addieren?
oder wie mach ich das dann?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann den Fluß eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche aufteilen in einzelne integrierbare Bereiche. Man erhält für den Kegel also zwei Integrale; einmal für den Mantel und einmal für die Bodenfläche. Beide Werte kann man hinterher addieren.

Du hast die dritte Komponente des Feldes vergessen; hier gilt ja z = 0. Die Flächennormale ist ein konvex gerichteter Vektor; die z-Komponente muß also z = -1 sein. Bilde doch mal das Skalarprodukt von . Merkst Du etwas Big Laugh ?
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

ok nicht schlecht.

ich schmeiß jetz mal alles in einen topf:





das lass ich erstmal so. jetz der rechte term:







zusammen:



auf meinem blatt steht als anmerkung: es gilt: dS=dxdy und dV=dxdydz.
aber wenn ich das jetz mache, komm ich doch auf ganz großen mist.
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bemerkung auf Deinem Blatt klarstellen soll klarstellen, daß dS ein Flächenelement ist und dV ein Volumenelement, mehr nicht. Wie man die Differentiale am geschicktesten Ausdrückt ist Teil des Problems.

Das Flächenelement habe ich oben mit dA benannt, da ich für die Seitenlinie schon s verwendet habe.

Die Integrale hast Du soweit korrekt aufgestellt. Die Integranden sind konstant und können vor das Integral gezogen werden. Dann siehst Du, daß die Form des Flächenelementes und des Volumenelementes keine Rolle mehr spielt. Gesucht ist ganz simpel die Mantelfläche und das Volumen des Kegels Augenzwinkern :

http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_(Geometrie)
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

also gut. ich versuchs mal. du hattest mir ja schon einen tip für ds gegeben.



ich hab ja:



also:





und:




ALSO:



zweiter term:



kann ich dz einfach durch -2dr+4 ersetzen?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Willst Du das wirklich auf die harte Tour durchrechnen? Die Formeln für Mantelfläche und Volumen des Kegels sind doch wohlbekannt:



.


Aber gut, so sei es. Ein wenig Übung kann nicht schaden. Du hast beim Flächenelement die Integration einen Schritt zu früh ausgeführt. Bleib beim Ausdruck



und integriere jetzt innerhalb der Grenzen.


Das Volumenelement ist nicht ganz so intuitiv hinzuschreiben. Es müßte eigentlich lauten:



Da r und z aber nicht unabhängig voneinander sind, kann man die Integration nicht separieren. Wenn man wählt muß man aufpassen, weil zwei unterschiedliche Differentiale für r existieren. Das Volumenelement kann man dann schreiben als



Die polare Integration kann man separieren und vorziehen. Die radialen Integrationen muß man nacheinander durchführen. Das knifflige ist jetzt die Wahl der Grenzen.

Verstehst Du, was ich meine? Weißt Du, was Du als nächstes machen mußt?
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

kurze zwischenfrage:



ist das wirklich ein herkömmlicher kegel?
ich hab das erst so aufgefasst mit z=-2r+4.
aber es is doch eigentlich:



dann is der doch so anders aus. eben so hier:



is das egal?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mein Bock, den ich gschossen habe. Machen wir auf dem Physikerboard weiter?

http://www.physikerboard.de/topic,9991,-satz-von-gau%DF.html
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