Isomorphismus

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Iljana Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus
Hey,

meine Aufgabe lautet:

Gegeben seien die Gruppen GL(2, Fp), wobei Fp die prime Restklassengruppe ist sowie eine Gruppe - und so hat es mein Prof aufgeschrieben - (Fp * Fp, +). Nun soll dies ein Isomorphismus sein. Kann mir das jemand erklären? Ich muss das beweisen. Aber ich bräuchte vorerst ein anschauliches Beispiel, damit ich überhaupt verstehe, was ich tu.

Liebe Grüße
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung...

um meine Frage zu konkretisieren... Wie wird denn so eine Gruppe (Fp*Fp,+) überhaupt auf die General Linear Group abgebildet? Und was bitte ist das überhaupt für ne Gruppe?
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du suchst also einen Isomorphismus von bzw. andersrum.

Zuerst einmal was diese Gruppen überhaupt bedeuten:
Das ist die generelle lineare Gruppe, also alle invertierbaren Matrizen über dem Körper bez. der Multiplikation!

Das ist die Gruppe der 2-Tupel aus bez. der Addition.

Die Gruppe wird nicht abgebildet, aber Elemente der einen Gruppe werden auf Elemente der anderen abgebildet. Eine dieser Abbildungen musst du finden, zeigen das sie ein Homomorphis ist und das sie bijektiv ist

Ich weiß zwar nicht wie die Aufgabe genau gelöst werden muss aber ein paar Tipps habe ich schon.
ist endlich erzeugt von (0,1) und (1,0). D.h. du kannst alle Elemente davon als Linearkombination dieser beiden Elemente darstellen.
Deine Aufgabe wird es jetzt sein aus 2 Elemente zu finden die alle invertierbaren Matrizen erzeugen. Dann kannst du die Erzeugenden auf einander abbilden und wirst allerwahrscheinlichkeit nach einen Isomorphismus bekommen
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist Fp*Fp von (0,1) bzw. (1,0) erzeugt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

nicht bzw. sondern von beiden.

Die Antwort auf die Frage kannst du dir aber selbst geben. Wie sehen den Elemente aus aus? Kann man dann mit (0,1) und (1,0) auf alle kommen?
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

blöde frage... schon verstanden.
aber:

wie finde ich die elemente - und vor allem: wie bilde ich sie aufeinander ab?
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

... und warum bilde ich überhaupt die erzeugenden Elemente aufeinander ab?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das abbilden kann ich dir sagen.
Du sagst einfach dass das eine Element auf das andere abgebildet wird Big Laugh
Wenn du die Abbildungsvorschrift der Erzeugenden festgelegt hast ergibt sich der Rest der Abbildung in natürlicher Weise durch die Eigenschaften des Homomorphismuses.
(Falls du den Beweis des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes linearer Abb. kennst, da wird sowas auch benutzt. Wenn nicht auch nicht schlimm Augenzwinkern )

Das finden ist meines Erachtens ein lustiges Rumprobieren Augenzwinkern

edit: Du kannst deine Beiträge auch editieren, jeweils ein neuer ist nicht nötig. Warum man sie abbildet sollte aber oben schon erklärt sein.
Isomorphie heißt ja das die Gruppen bis auf Umbennenung gleich agieren. Wenn also die eine erzeugt wird, muss auch die andere erzeugt werden.

edit2: Bist du dir den sicher das die Aussage stimmen muss? Hammer
Nach betrachten der Kardinalität der beiden Gruppen kommen ich darauf das sie es nicht sind
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal: Danke für soviel Geduld!
Habe ich es also richtig verstanden: Wenn ich eine Abbildungsvorschrift für die erzeugenden Elemente habe, ergibt sich die Abbildung für die restlichen automatisch...?

Da ich aber in Deutschland auf Lehramt Mathe studiert habe und kaum was mit Matritzen zu tun hatte, bin ich hier in Spanien leicht aufgeschmissen, wo ich nur mit Diplomern studiere. Also: Wie finde ich erzeugende Elemente von invertierbaren Matritzen?

Und woher bekomme ich die Abbildungsvorschrift? Mir ist das irgendwie noch alles sehr schleierhaft... und ich könnte, glaube ich, gut ein Beispiel gebrauchen. Vor allem, weil ich absolut nicht weiß, wie man ein n-tupel auf die General Linear Group abbildet! Wie wär´s mit nem Beispiel für F3?

traurig

das mit dem editieren wird gemacht! und danach brauche ich nen kurs für latex Lesen2 Big Laugh
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du meinen edit nicht gesehen hast:

Ich vermute jetzt nach etwas nachdenken das die Gruppen nicht isomorph sind!
Kann das sein?
Ich bin mir jedenfalls ziemlich sicher Augenzwinkern

Betrachte einmal wieviele Elemente hat und wieviele hat. Das erste sollte einfach sein, beim zweiten gebe ich dir den Tipp das eine quadratische Matrix genau dann invertierbar ist wenn die Zeilenvektoren nicht linear abhängig sind. Zähle jetzt wieviele Elemente möglich sind


(Für welches Semester sind den diese Aufgaben gedacht? Das 1. oder? Nur damit ich weiß mit was man argumentieren kann)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe Elemente einer Gruppe
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

verdammt, ich verstehe gar nix mehr. kannste mir nicht einfach mal nen größeren tip geben? ich komme nicht weiter traurig traurig traurig
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Von jemanden der an einer Hochschule studiert kann man glaube etwas mehr erwarten als ein "verstehe gar nichts mehr". Insbesondere weil du nicht auf Fragen eingehst.
Was genau verstehst du den nicht mehr?

Ich sagte die Gruppen haben nicht gleich viele Elemente also sind sie nicht isomorph.
Anscheinend hast du nach dem Link von therisen auch schon einmal gelernt wie viele Elemente hat.
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Siehe Elemente einer Gruppe


na rate mal, was ich gerade mache! hab mir den ganzen kram nochmal angesehen, verstehe das auch, aber!!!!
das mit der abbildung, das verstehe ich einfach nicht.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Darüber wie die Abbildung aussieht musst du dir keine Gedanken machen.
Ok ganz langsam:

Wir wollen jetzt zeigen das es keinen Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen gibt.
Da die Gruppen endlich sind(warum?) müssen sie gleich viele Elemente haben denn ansonsten wäre die Abbildung nicht bijektiv. Wir müssen ja jedem Element eindeutig ein anderes zuordnen können.

Jetzt zeigen wir aber das die Anzahl der Elemente der beiden Gruppen verschieden ist! D.h. dann gibt es auch keine bijektive Abbildung und insbesondere dann auch keinen Isomorphismus, denn ein Isomorphismus ist eine spezielle bijektive Abbildung!

Jetzt rechne doch einmal aus wieviele Elemente die beiden Gruppen haben. Das hast du ja nach deinen Angaben verstanden wie man das macht
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

finde ich irgendwie komisch, das mit dem" wer an einer hochschule studiert..." ich verstehe ja auch gerade gar nix. zumal mein prof hier gesagt hat, das wäre sogar ein automorphismus. und ich habe hier sogut wie überhaupt keine beispiele, alles frontalunterricht (sogar an einer spanischen "hochschule"!) und kein skript.

wegen mir können wir gerne tauschen unglücklich
und auf deine frage bin ich bisher nicht eingegangen, weil ich nebenbei sie auch noch lösen muss - und, hört, hört, ganz von selber auf den tip von therisen gekommen bin.
traurig
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du aufhören würdest dich selbst zu bemitleiden und dich lieber dem Thema widmen würdest, wärst du längst fertig. Also:

Zitat:
Original von kiste
Ok ganz langsam:

Wir wollen jetzt zeigen das es keinen Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen gibt.
Da die Gruppen endlich sind(warum?) müssen sie gleich viele Elemente haben denn ansonsten wäre die Abbildung nicht bijektiv. Wir müssen ja jedem Element eindeutig ein anderes zuordnen können.

Jetzt zeigen wir aber das die Anzahl der Elemente der beiden Gruppen verschieden ist! D.h. dann gibt es auch keine bijektive Abbildung und insbesondere dann auch keinen Isomorphismus, denn ein Isomorphismus ist eine spezielle bijektive Abbildung!

Jetzt rechne doch einmal aus wieviele Elemente die beiden Gruppen haben. Das hast du ja nach deinen Angaben verstanden wie man das macht
Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

das, was du hier gerade erklärt hast, das habe ich längst begriffen.
aber meine frage nämlich, mit welcher abbildungsvorschrift man die n-tupel aus der einen Gruppe auf die Matritzen der anderen abbildet, die leider noch nicht. das ist alles.


was hat das eigentlich mit selbstmitleid zu tun, wenn ich mich lediglich rechtfertige?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Also 1. ist ein Automorphismus wie von dir oben gefordert schlicht nicht möglich. Für einen Automorphismus wird auf einer Gruppe G wieder auf dieselbe Gruppe G abgebildet!

Was dein Problem jetzt noch ist ist unverständlich. Warum willst du noch einen Isomorphismus angeben wenn wir bereits gezeigt haben(haben sollten, du hast es nicht aufgeschrieben aber anscheinend begriffen) das es keinen geben kann.

Aber wenn du unbedingt eine Abbildung haben willst gebe ich dir eine(Vorsicht: Diese Abbildung ist zwar linear aber nicht bijektiv also kein Isomorphismus!)


Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

rein formal (bezgl. deiner abbildung) verstehe ich das ja. aber mir ist nicht ganz klar, mit welcher rechenvorschrift man ein 2-tupel (wie bei dir angegeben) auf eine solche matrix abbildet. wie wird (m,n) zu dieser Matrix, das ist mein, und wahrscheinlich ganz grundlegendes, Problem.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das Problem ist in der Tat sehr grundlegend. Da du die Frage nach dem Semester nicht beantwortet hast kann ich natürlich nicht sagen wie sehr Augenzwinkern

Hier bilde ich alle Tupel auf die gleiche Matrix ab.

Das ist wie eine Funktion f(x) = 5 im Reellen. Einfach konstant!

Wie man 2-Tupel auf etwas anderes abbildet mal an einem einfacheren Beispiel:

Iljana Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir! Kapiert!

Nein, und ich sach dir nich, in welchem Semester ich bin. Big Laugh
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du meinst Augenzwinkern

Wenn du willst kannst du mir die von dir berechneten Anzahlen zur Kontrolle noch geben, ansonsten Wink
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