Verständnisproblem mit Homomorphismus

16.11.2007, 19:29

Kati11

Verständnisproblem mit Homomorphismus

Hallo,
in einer Übung haben wir eine Gruppe G der Ordnung n nach Sym(m) abgebildet, und zwar durch:

$\begin{eqnarray*} \varphi: G \to Sym(n), g \mapsto xg \end{eqnarray*}$

Jetzt beim Durchsehen stelle ich fest, dass mir das überhaupt nicht klar ist - weder das x noch warum das Bild in Sym(n) liegen soll? Vermutlich stammt x aus Sym(n). Aber wie ist das gemeint wenn eine Element aus Sym(n) mit einem Element aus G verknüpft wird?

16.11.2007, 21:40

WebFritzi

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Du gehst also davon aus, dass hier jeder weiss, was Sym(n) ist? unglücklich

16.11.2007, 21:58

Kati11

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Ich dachte, das ist eine gebräuchliche Bezeichnung für die Menge der Permutationen einer n-elementigen Menge.

Entschuldigung falls dem nicht so ist. verwirrt

17.11.2007, 09:42

Leopold

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RE: Verständnisproblem mit Homomorphismus
Wenn nun das hier

Zitat:

Original von Kati11
$\begin{eqnarray*} \varphi: G \to Sym(n), g \mapsto xg \end{eqnarray*}$

stimmt, dann müßte, was du mit $\begin{eqnarray*} xg \end{eqnarray*}$ bezeichnest, eine Permutation sein:

$\begin{eqnarray*} xg: \ \{ 1,2,\ldots,n \} \to \{ 1,2,\ldots,n \} \ \ \text{bijektiv} \end{eqnarray*}$

Jetzt müßtest du uns nur noch sagen, was das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist und was du mit $\begin{eqnarray*} xg \end{eqnarray*}$ meinst. Auch das kann keiner wissen, der nicht in deiner Vorlesung saß. Irgendwie scheint es mir hier um Operationen von Gruppen auf Mengen zu gehen.
Am besten stellst du den vollständigen Aufgabentext einmal hier herein. Du kannst nicht einfach die ganzen Voraussetzungen der Aufgabe unterschlagen. Niemand ist hier Hellseher. (Vorsicht, Leopold, mit Allaussagen! Daher besser: Nicht alle hier sind Hellseher.)

17.11.2007, 21:52

Kati11

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Es war ja keine Aufgabe, nur eine Nebenbemerkung. unglücklich

Mal anders gefragt: Wie könnte man denn einen Homomorphismus definieren, der eine endliche Gruppe der Ordnung n nach Sym(n) abbildet? Ich kann mir das überhaupt nicht vorstellen.

Naja, danke zumindest für deine Geduld.

17.11.2007, 23:43

zweiundvierzig

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Über Permutationen habt Ihr doch sicher geredet, oder? In welchem Zusammenhang stand denn die Bemerkung mit der Linkstranslation, evtl. dem Satz von Cayley?

Edit: Natürlich Linkstranslation smile

18.11.2007, 16:31

Leopold

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Dann geht es wohl um Folgendes:

Für jede Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wird durch

$\begin{eqnarray*} \pi: \ G \to \operatorname{Sym}(G), \ g \mapsto \pi_g \ \ \text{mit} \ \ \pi_g: G \to G, \ x \mapsto gx \end{eqnarray*}$

ein Monomorphismus von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in die Gruppe der Permutationen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ definiert. $\begin{eqnarray*} \operatorname{Sym}(G) \end{eqnarray*}$ hängt bis auf Isomorphie nur von der Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ab. Für endliche Gruppenordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ entspricht das daher $\begin{eqnarray*} \operatorname{Sym}(n) \end{eqnarray*}$ .

Wegen dieser Monomorphie sind also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und das Bild von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zueinander isomorph. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ findet sich sozusagen als Untergruppe in $\begin{eqnarray*} \operatorname{Sym}(G) \end{eqnarray*}$ wieder.

Daß $\begin{eqnarray*} \pi_g \end{eqnarray*}$ eine Permutation von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist und daß $\begin{eqnarray*} \pi_{gh} = \pi_g \circ \pi_h \end{eqnarray*}$ (was ja gerade $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als Homomorphismus ausweist) gilt, folgt aus den Gruppenaxiomen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Auch die Injektivität von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (was den Homomorphismus zu einem Monomorphismus macht) ergibt sich unmittelbar aus den Gruppenaxiomen.

Vielleicht ein Beispiel.

Sei $\begin{eqnarray*} G = \{ 1,a,b,c \} \end{eqnarray*}$ die Kleinsche Vierergruppe mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Einselement. Sie ist kommutativ und durch

$\begin{eqnarray*} a^2 =b^2 = c^2 = 1, \ \ ab = c, \, ac = b, \, bc = a \end{eqnarray*}$

bestimmt. Jetzt betrachten wir einmal die 4 Elemente $\begin{eqnarray*} \pi_1, \pi_a, \pi_b, \pi_c \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \operatorname{Sym}(4) \end{eqnarray*}$ . In Zykelschreibweise ist

$\begin{eqnarray*} \pi_1 = \operatorname{id} \ \ \mbox{Identität} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_a = (1a) \circ (bc) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_b = (1b) \circ (ac) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_c = (1c) \circ (ab) \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \pi_a \circ \pi_b = (1a) \circ (bc) \circ (1b) \circ (ac) = (1c) \circ (ab) = \pi_c = \pi_{ab} \end{eqnarray*}$

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