Extremwerte an einm geometrischen Bsp,

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19.02.2004, 20:33	mbecker	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte an einm geometrischen Bsp, Hi, folgendes Problem: Ein Zylinder soll mit dem großtmöglichen Volumen in eine Kugel reinpassen. Vkugel = 4/3 r³ pi Vzylinder = h r² pi Soweit die beiden Gleichungen. Was ist aber die Zielgleichung ? Ich komm nicht dahinter, welche Verbindungen r zu h hat. Muss ja eine geben. Wäre sau nett, wenn jmd. helfen konnte, bim immoment ziemlich ratlos....
19.02.2004, 20:40	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, im Prinzip funktioniert das so, dass du dir eine Skizze machst, dann eine Funktion für das Volumen des Zylinders aufstellst, in Abhängigkeit der Größe nach der das Volumen maximal sein soll, und dann das Extremum dieser Funktion suchst. Gruß, Thomas
19.02.2004, 20:47	mbecker	Auf diesen Beitrag antworten »
hi thomas, das ist ja alles klar, ich frage ja deshalb konkret nach dieser verbindung zwichen r und h. die anderen sachen sind soweit klar. aber big thx
19.02.2004, 20:50	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte an einm geometrischen Bsp, Zylinderhöhe sei hier 2h !! (r ist Radius der Kugel) V(Zylinder) = 2h * Grundfläche = 2h * Pi * (r²-h²) ich hoffe es stimmt
19.02.2004, 21:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte an einm geometrischen Bsp, Hi, ihr macht dzt. den gravierenden Fehler, dass ihr den Zylinderradius und den Kugelradius beide mit r bezeichnet! Das ist leider letal. So geht's: Kugelradius sei R Für die Tatsache, dass der Zylinder der Kugel eingeschrieben ist, gilt die Nebenbedingung: (2r)² + h² = R² .. NB EDIT!: das stimmt natürlich nicht - --------- Danke, dass ihr mich auf den Fehler aufmerksam gemacht habt Ich bitte um Entschuldigung! --------- - es muss richtig so heissen: (2r)² + h² = (2R)² 4r² + h² = 4R² .. NB Das erkennt man, wenn man das bei einem Achsenschnitt durch beide Körper entstehende rechtwinkelige Dreieck betrachtet! *V = pir²h ... Max. .. Hauptbedingung** Für r² setzen wir aus der Nebenbedingung r² = (4R² - h²)/4 und wir erhalten eine Funktion in h V(h) = (pi/4)(4R² - h²)h konst. Faktor (pi/4) (nur für Extremwert!) weglassbar f(h) = 4R²h - h³ f '(h) = 4R² - 3h² f ''(h) = -6h < 0 (h positiv), daher liegt Max. vor f '(h) = 0 h² = 4R²/3 -> h = 2R/sqrt(3) °°°°°°°°°°°°°° aus NB.: r² = (4R² - h²)/4 = (4R² - 4R²/3)/4 = 2R²/3 r = Rsqrt(2/3) °°°°°°°°°°°°°° Vzyl* =(2R²/3)pi * 2R/sqrt(3) = *4R³pi/(3sqrt(3))** Das Volumen der Kugel verhält sich somit zum Volumen des Zylinders: Vku : VZyl = sqrt(3) : 1 Gr mYthos
19.02.2004, 22:32	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte an einm geometrischen Bsp, (2r)² + h² = R² .. NB Sorry, aber das kann ich nicht nachvollziehen :-o oder meintest du etwa (2r)² + h² = (2R)² ?? // Edited by Daniel (Bitte keine doppelposts) Edit nutzen .. dann käme es nämlich genau auf das Meinige raus
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19.02.2004, 22:57	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte an einm geometrischen Bsp, Hallo Daniel, das habe ich probiert, aber die Edit-Fkt funzte nicht richtig !! Sie blendete ABSOLUT nicht das von mir zuvor per Edit nachgeschobene Post mit ein. Ich hätte das dann nochmal mit reinkoppieren müssen, das war mir dann doch etwas fragwürdig. Nochmal im Klartext, die Edit-Fkt hat beim Editieraufruf, NUR den ganz ursprünglichen Text eingelesen, das was ich zuvor schon editiert hatte aber ausgelassen !! ... jetzt hier nochmal nachschieb (2r)² + h² = R² .. NB ist definitiv falsch, betrachte nur mal 2r gegen 0, dann liefe h gegen R, bzw MAX(h) = R und das kann ja wohl nicht stimmen ...
19.02.2004, 23:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte an einm geometrischen Bsp, Sapperlot, ein unangenehmer Schreibfehler und weil ich's net ausgerechnet habe, hab' ich ihn nicht bemerkt! Klar heisst's (2r)² + h² = (2R)² EDIT: @Poff In der Eile habe ich auch überlesen, dass du den Zylinderradius² gleich mit r² - h² bezeichnet hast, das ist ohne Zwischenschritte halt etwas schnell gewesen...., aber es stimmt natürlich! Also editiere ich das oben gleich mal und liefere dann auch das Ergebnis mit! Sorry! mYthos P.S: Der Server liefert ständig dataBase-Error!
20.02.2004, 00:20	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es gab leichte Probleme mit der Datenbank, die durch zu viele Anfragen abgestürzt ist. Jetzt sollte aber alles wie gewohnt schnell und sicher funktionieren (Danke jama :]) Gruß, Thomas
20.02.2004, 16:50	mbecker	Auf diesen Beitrag antworten »
THX für die Antworten vielen dank für alles, bin gestern abend dann doch noch schließlich auch noch draufgekommen, nach mehreren stunden überlegen.... aber das kenn ich ja, da verrent man sich irgendwo und kommt dann auf die einfachste sachen nicht. na kllar, der satz des phytagoras war es also: r= Radius des Zylinders R= Radius des Kreises 1) V(Zylinder) = PI * r² * h 2) R² = r² + (h/2)² R² = r² + (h/2)² \| - (h/2)² r² = R² - (h/2)² 2) in 1) V(Zylinder) = PI * h * [R² - (h/2)²] V(Zylinder) = PI * h * [R² - h²/4] V(Zylinder) = PI * h * [4R - h²] V(Zylinder) = PI * (4Rh - h³) V(Zylinder) = 4R h PI - PI h³ V'(Zylinder) = 4R² PI - 3 PI h² V''(Zylinder) = - 6 PI h Setze V'(Zyllinder) = 0 und V''(Zylinder) < 0 \| weil wir nur Hochpunkt haben wollen 4R² PI - 3 PI h² = 0 4R² PI = 3 PI h² 4R² = 3 h² h² = 4/3 R² h = 2/3 R * Wurzel(3) V''(Zylinder) < 0 V''[2/3 R * Wurzel(3)] = - 6 PI * 2/3 R * Wurzel(3) < 0 Intervallsränder V(0) = 0 V(2r) = 0 So das war . Hab mich schuldig gefühlt, das hier dann auch zu lösen, auch für andere, die dann die gleichen Probleme wie ich haben, Wenn jmd. Fragen hat einfach shcreiben, ich versuchs zu beantworten
20.02.2004, 18:52	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Re THX für die Antworten @mbecker V(Zylinder) = PI * h * [R² - h²/4] V(Zylinder) = PI * h * [4R - h²] V(Zylinder) = PI * (4Rh - h³) V(Zylinder) = 4R h PI - PI h³ diese Umformung ist falsch. TEILWEISE hast du das weiter unten wieder (etwas) ausgeglichen und zum Anderen führt eine solche fehlerhafte Umformung glücklicherweise nicht zwingend zu einem falschen Endresultat. V(Zylinder) = 4R h PI - PI h³ Ein daraus errechnetes Volumen wäre jedoch falsch, auch dann wenn der vermutliche Verschreibseler nicht stattgefunden hätte !! ... Ansonsten hast du genau meinen 'Ansatz' umgesetzt. Der Ansatz von 'mYthos' ist etwas schwerer zu verstehen, muss man hierzu nämlich erstmal wissen, dass die 3. Seite seines Querschnittsdreiecks(Hypothenuse) als gleichzeitige RaumDiagonale des Zylinders, eine gerade Linie darstellt die durch den Kugelmittelpunkt verlaufen muss. Das dürfte für manche nicht unbedingt (sofort) ersichtlich sein. ...

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