Kurvenschar mit Gerade y=x

18.04.2005, 14:04

hotspot

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Kurvenschar mit Gerade y=x

Hallo!

Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee, wie man foglende Aufgabe lösen könnte...

Gegeben ist die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_k (k) = \frac{ln x + k}{x^2} , x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

a) ...
b) Bestimme k so, dass der Graph von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ die Gerade mit $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ berührt.

---

Hmm also dann f'(x) = g'(x)

18.04.2005, 14:31

klarsoweit

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RE: Kurvenschar mit Gerade y=x
Berühren bedeutet, nicht scheiden. Im Berührpunkt sind also die Steigungen gleich. Welche weitere Eigenschaft muß also gelten?

18.04.2005, 14:45

Rike

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RE: Kurvenschar mit Gerade y=x
Oh, des möcht ich ja auch ma wissen, was da jetzt rauskommt.
Denn müsste ja theoretisch die erste Ableitung = 1 sein oder?
Fragt sich nur noch wie man des jetzt ableitet verwirrt

verwirrt

Also da würd ich jetzt hängen ... *grübel*

18.04.2005, 14:46

JochenX

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allgemein, seien f(x), g(x) sei kurven, notwendige bedingungen für einen berührpunkt an der stelle x0

f(x0)=g(x0)
und f'(x0)=g'(x0)

@klarsoweit:
ich glaube das problem liegt hier eher am lösen des entstehenden gleichungssytems, weil weder f'(x)=1, noch f(x)=x so ohne weiteres nach x aufgelöst werden kann.

man könnte es nach k auflösen und einsetzen und hoffen, das da einiges wegfällt.... verwirrt

verwirrt

edit: @rike: stichwort quotientenregel

18.04.2005, 14:48

hotspot

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also die ableitung...

$\begin{eqnarray*} f_k (k) = \frac {ln x + k}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_k '(k) = \frac {x-2x*ln x-2kx}{x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \frac {x-2x*ln x}{x^4} -2x \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 14:48

JochenX

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die ableitung ist schon mal richtig! Freude

Freude

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18.04.2005, 14:56

klarsoweit

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RE: Kurvenschar mit Gerade y=x
Statt Quotientenregel kann man auch Produktregel nehmen:
$\begin{eqnarray*} f_k (x) = x^{-2} \cdot (ln x + k) \end{eqnarray*}$
Wenn ich mir die 2 Gleichungen anschaue, sollte das lösbar sein.

18.04.2005, 15:01

Rike

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OMG ... jetzt isses schon so weit und ich kann nich ma mehr ableiten.
Quotientenregel is mir schon klar. Denn müsste des aber so aussehn:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{(lnx+k)\,\cdot\,2x - (x^{2}\,\cdot\,\frac{1}{x})}{x^{4}} \end{eqnarray*}$
oder?
also kommt bei mir am Ende
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2lnx+2k-1}{x^{3}} \end{eqnarray*}$
raus.

Was habschn falsch gemacht? Also sone komischn Ableitungen sind irgendwie nich so mein Ding traurig

traurig

18.04.2005, 15:02

babelfish

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@rike: das is das gleiche wie oben! Augenzwinkern

Augenzwinkern

einfach nur das x gekürzt...

/edit: ooooh! ich seh grad, dass ich gar nich auf die vorzeichen geachtet hab... so isses natürlich nich das gleiche...

18.04.2005, 15:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rike
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(lnx+k)\,\cdot\,2x - (x^{2}\,\cdot\,\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Ist falsch. unglücklich

unglücklich

Da ist ein -2 im Exponent!

18.04.2005, 15:03

JochenX

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das ist schon fast richtig, rike!
hast nur noch einen vorzeichenfehler drin!
du hast noch einmal öfters gekürzt, als hotspot!

mfg jochen

ps: aber klarsoweits term sieht natürlich viel angenehmer aus!

18.04.2005, 15:05

hotspot

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irgendwie verwirrt mich das jetzt alles hier Hilfe

Hilfe

verwirrt

18.04.2005, 15:05

derkoch

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@ rike

erweitere deine gleichung doch mal mit x! Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2005, 15:09

Rike

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Zitat:

Original von klarsoweitDa ist ein -2 im Exponent!

verwirrt

Wieso denn -2? Also ich seh mein Fehler nich.

Ohje, also ich plan ma grad ga nix mehr.

18.04.2005, 15:11

klarsoweit

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Fassen wir zusammen, wir haben:
$\begin{eqnarray*} f_k (x) = x^{-2} \cdot (ln x + k) = x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f_k'(x) = - 2x^{-3} \cdot (ln x + k) + x^{-3} = 1 \end{eqnarray*}$
Aus der 1. Gleichung kommt: ln x + k = x³
Das in die 2. Gleichung einsetzen und lösen.

Zitat:

Original von Rike
verwirrt

verwirrt

Wieso denn -2? Also ich seh mein Fehler nich.

Deine Ableitung ist fast richtig, nur falsche Vorzeichen im Zähler. Zähler bei Quotientenregel: Erst wird der Zähler abgeleitet * Nenner - Zähler * Ableitung vom Nenner.

18.04.2005, 15:25

Rike

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Aaaaach *klick*
jetzt seh ichs ... ich hab nich
$\begin{eqnarray*} u'\,\cdot\,v-u\,\cdot\,v' \end{eqnarray*}$
gerechnet, sondern andersrum ... und denn war mein - falsch ... verstehe. *merknmuss*

Is des eigentlich immer egal ob ich da jetzt die Quotienten- oder die Produktregel nehme?

18.04.2005, 15:28

derkoch

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yup! ist egal!
mußt eben halt nur sehen womit du am besten umgehen kannst!

18.04.2005, 15:48

Rike

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So, sorry, dass ich von der eigentlichen Aufgabe so abgeschweift bin.
Was kommt denn nu raus für k? Also ich hab des jetzt ma so gemacht wies gesagt wurde und des funktioniert so irgendwie nich.

18.04.2005, 15:58

klarsoweit

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Wir sind uns also einig, daß folgende Gleichungen zu lösen sind:
$\begin{eqnarray*} x^{-2} \cdot (ln x + k) = x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} - 2x^{-3} \cdot (ln x + k) + x^{-3} = 1 \end{eqnarray*}$
Die 1. Gleichung umgeformt, ergibt:
$\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$
Den Ausdruck ln x + k kann man also mit x³ in der 2. Gleichung ersetzen. Der Rest ist simpel.

18.04.2005, 16:14

Rike

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also $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ oder?

Und denn muss ich des doch irgendwo einsetzen um k auszurechnen oder wie seh ich des?
Wo denn? Einmal hab ich k=0,91 und einma k=0,21 raus.

Is da eins von richtig oder is alles falsch?

18.04.2005, 17:18

hotspot

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Zitat:

Original von Rike
also $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ oder?

ja, das hatte ich auch schon... aber in welche zweite gleichung man das nun einsetzen soll... verwirrt

verwirrt

18.04.2005, 19:20

hotspot

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hat nicht noch jemand ne idee??

18.04.2005, 21:00

JochenX

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ungeduldiger!

das hatten wir doch vorhin schon mal gemacht, k(x)=...., also k isoliert.
einfach dort mal den x-wert einsetzen und k bestimmen!
vorher aber richtig k isolieren, ich glaube, da war oben noch ein fehler!

18.04.2005, 21:49

hotspot[ausgeloggt]

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Zitat:

Original von hotspot
$\begin{eqnarray*} k = \frac {x-2x*ln x}{x^4} -2x \end{eqnarray*}$

war dort der fehler?

18.04.2005, 21:57

JochenX

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versuchs mal aus dieser form:

$\begin{eqnarray*} x^{-2} \cdot (ln x + k) = x \end{eqnarray*}$
mfg jochen

18.04.2005, 22:01

hotspot

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$\begin{eqnarray*} k = \frac{x}{x^{-2}} - ln x \end{eqnarray*}$

so?

18.04.2005, 22:02

JochenX

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was ist denn x/x^(-2) ?????
das geht aber noch viel einfacher!

18.04.2005, 22:07

hotspot

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Zitat:

Original von LOED
was ist denn x/x^(-2) ?????
das geht aber noch viel einfacher!

jute frache...

$\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ is ja $\begin{eqnarray*} \frac {1}{x^2} \end{eqnarray*}$

also theoretisch $\begin{eqnarray*} \frac {x}{x^2} = \frac {1}{x} \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 22:21

JochenX

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du hast aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 22:44

hotspot

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dann nehmen wir $\begin{eqnarray*} k = x^{3} - ln x \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 22:45

Rike

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Na des ham wa doch aber so gemacht. Und da kommt des raus was oben steht.

18.04.2005, 22:50

JochenX

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} k = \frac{x}{x^{-2}} - ln x \end{eqnarray*}$

ist ja nicht falsch, aber was ist denn x/(x^-2), da kann man doch noch potenzgesetzt oder so anwenden und das zusammenfassen....

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{-2}}=\frac{x}{\frac{1}{x^2}}=...? \end{eqnarray*}$

edit: sorry edit übersehen!
oben stehts jetzt korekt!

jetzt x=3wurzel(...) einsetzen und k berechnen!

edit: mit tex: $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 23:20

hotspot

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$\begin{eqnarray*} k = \frac {1}{3} - ln \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

18.04.2005, 23:21

JochenX

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jupp, wenn jetzt keine rechenfehler mehr vorher waren, dann sollte es so stimmen!

schwere geburt! Freude

Freude

19.04.2005, 08:53

klarsoweit

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Etwas schöner geschrieben:
$\begin{eqnarray*} k = \frac {1}{3} - ln \sqrt[3]{\frac{1}{3}} = \frac {1}{3} \cdot (1 + ln(3)) \end{eqnarray*}$

19.04.2005, 13:26

hotspot

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} x^{-2} \cdot (ln x + k) = x \end{eqnarray*}$
Die Gleichung umgeformt, ergibt:
$\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rike
also $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

wieso ist jetzt ln x + k = 1/3 ?

19.04.2005, 13:45

klarsoweit

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Es wurde $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Oder was war jetzt die Frage? verwirrt

verwirrt

19.04.2005, 14:48

hotspot

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Zitat:

Original von klarsoweit
Es wurde $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Oder was war jetzt die Frage? verwirrt

verwirrt

die frage war, warum $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

es wurde doch $\begin{eqnarray*} x^{-2} \cdot (ln x + k) = x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$ umgeformt. jetzt versteh ich aber nicht, wie man von $\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ kommt ?!?

ich hätte $\begin{eqnarray*} ln x + k = x^3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{ln x + k} \end{eqnarray*}$ umgeformt. oder hab ich jetzt irgendwas verwechselt verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

19.04.2005, 14:51

klarsoweit

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Dann lies bitte meinen Beitrag von gestern 15:58. Ist der verstanden?

19.04.2005, 14:59

hotspot

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Zitat:

Original von klarsoweit
Dann lies bitte meinen Beitrag von gestern 15:58. Ist der verstanden?

dann versteh ich den irgendwie nich. unglücklich

unglücklich

ich hab keine ahnung was ich nun wo einsetzen muss, um auf 3.wurzel von 1/3 zu kommen. könntest du das bitte nochmal kurz schritt für schritt erklären?! Hilfe

Hilfe

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