limes berechnen

18.11.2007, 13:26

ulibear

limes berechnen

folgende aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

wie geht man an diese aufgaben ran? für x darf ich ja nicht 0 einsetzen sonst krieg ich ne nulldivision......

18.11.2007, 13:33

CFusz

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RE: limes berechnen
(x-0) im Zähler und nenner jeweils ausklammern, dann kürzen, dann Grenzwert

18.11.2007, 13:55

ulibear

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hm....wie klammere ich den (x-0) aus....wo sollen das darin enthalten sein? verwirrt

denk ich jetzt zu kompliziert oder woher weist du das du x-0 ausklammern musst?

18.11.2007, 14:01

CFusz

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1.

Kann man jeden beliebigen Wert ausklammern, auch wenn er nicht expliziet erscheint.
Ausklammern geschiet, indem man den Wert durch das, was man ausklammert Teilt

Beispiel

$\begin{eqnarray*} 7x = e (\frac{7x}{e}) \end{eqnarray*}$

Man klammert in diesem Fall immer (x-g) aus, wobei g der Wert ist gegen den x läuft.

Durch das kürzen, fällt dann das Problem, des durch 0 teilens weg und man kann den Grenzwert errechnen

18.11.2007, 14:29

klarsoweit

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RE: limes berechnen

Zitat:

Original von CFusz
(x-0) im Zähler und nenner jeweils ausklammern, dann kürzen, dann Grenzwert

Das hilft im diesen Fall leider nicht.

Hier hilft die Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

18.11.2007, 14:38

ulibear

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Zitat:

Original von CFusz
1.

Kann man jeden beliebigen Wert ausklammern, auch wenn er nicht expliziet erscheint.
Ausklammern geschiet, indem man den Wert durch das, was man ausklammert Teilt

Beispiel

$\begin{eqnarray*} 7x = e (\frac{7x}{e}) \end{eqnarray*}$

Man klammert in diesem Fall immer (x-g) aus, wobei g der Wert ist gegen den x läuft.

Durch das kürzen, fällt dann das Problem, des durch 0 teilens weg und man kann den Grenzwert errechnen

ok, prinzip verstanden. merk ich mir für die anderen aufgaben smile

Was klarsoweit geschrieben hat, versteh ich allerdings nicht so ganz. muss ich jetzt den nenner mit dem zähler erweitern?

18.11.2007, 14:42

CFusz

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RE: limes berechnen
@klarsoweit

In wieweit hilft hier das erweitern weiter? verwirrt

Hab das gerade mal für den Nenner gemacht und komme dann auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \cdot (\sqrt{1+x} +\sqrt{1-x}) \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt x->0 dann ist der Nenner immer noch 0 da 0*irgendetwas 0 ist verwirrt

18.11.2007, 15:43

klarsoweit

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RE: limes berechnen
Das spannende passiert ja auch im Zähler. Augenzwinkern

18.11.2007, 15:48

ulibear

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ich versteh nicht ganz was ihr da macht?.....kann ds nochmal jemand für dumme erklären?

18.11.2007, 15:51

CFusz

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RE: limes berechnen
@klarsoweit

Zähler schön und gut (3. Binomische Formel)

aber der Nenner geht doch immer noch gegen 0 für x->0 und damit sind wir nicht weiter als vorher, ausser das der Zähler "schöner" aussieht. unglücklich

18.11.2007, 15:53

tmo

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du kannst dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ kürzen und dann verschwindet der nenner nicht.

18.11.2007, 15:57

CFusz

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O.K.

habs gesehen
$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{\sqrt{x}}=\frac{2*\sqrt{x}}{1} \end{eqnarray*}$

Hammer

kommt davon wenn ich versuche das nur durch einen Blick zu erfassen und nicht ausrechne unglücklich

18.11.2007, 16:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von ulibear
ich versteh nicht ganz was ihr da macht?.....kann ds nochmal jemand für dumme erklären?

Den entscheidenden Tipp habe ich doch gegeben. Jetzt rechne mal selbst und falls du nicht weiter kommst, meldest du dich wieder.

18.11.2007, 16:08

ulibear

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ja, aber mein mathe-deutsch is doch sehr eingerostet......was heist es, wenn ich mit dem zähler erweitere?

was muss dann gemacht werden? verwirrt

war das zähler und nenner mit dem wert multiplizieren?)

18.11.2007, 16:57

klarsoweit

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Genau!
Du erweiterst aber nicht mit dem Zähler, sondern mit einem Faktor (bzw. Term), indem du Zähler und Nenner damit multiplizierst.

18.11.2007, 17:51

ulibear

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RE: limes berechnen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})*(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})}{\sqrt{x}*(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2 - \sqrt{1+x}* \sqrt{1-x} - \sqrt{1-x}*\sqrt{1+x} + (\sqrt{1-x})^2 }{\sqrt{x}*\sqrt{1+x} - \sqrt{x}*\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2 + (\sqrt{1-x})^2 }{\sqrt{x}*\sqrt{1+x} - \sqrt{x}*\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

meintest du das so?

18.11.2007, 17:55

klarsoweit

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RE: limes berechnen
Im Prinzip ja, wenn du nur mit dem Faktor, den ich genannt hatte erweitert hättest.

Im Nenner brauchtest du die Klammer nicht auflösen.

18.11.2007, 18:07

ulibear

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RE: limes berechnen
hab ich den einen anderen faktor genommen? du hast doch diese 2 wurzel genannt gehabt, oder?

ist es den trotzdem noch richtig ? wie geh ich den jetzt von hier aus weiter. was hat imr den diese erweiterung gebracht?

18.11.2007, 18:45

klarsoweit

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RE: limes berechnen

Zitat:

Original von klarsoweit
Hier hilft die Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Das hatte ich genannt und du hast $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ genommen.

21.11.2007, 22:00

ulibear

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RE: limes berechnen
ok, wenn ich jetzt mit dem richtigen faktor erweitere komme ich zu diesem ergebnis

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})*(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{\sqrt{x}*(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2 }{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

doch was hat mir das jetzt gebracht?

21.11.2007, 22:37

klarsoweit

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RE: limes berechnen
Was gibt das denn, wenn man eine Wurzel quadriert? Augenzwinkern

22.11.2007, 09:23

ulibear

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RE: limes berechnen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)} {\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

so? aber was mir das jetzt gebracht hat seh ich immernoch nicht verwirrt

22.11.2007, 09:52

klarsoweit

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RE: limes berechnen
Jetzt die Terme im Zähler zusammenfassen.

22.11.2007, 20:23

ulibear

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RE: limes berechnen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)} {\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x} {\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

ich komm mir echt blöd vor, aber ich raffs immernoch net. ich seh nicht wie da jetzt weiter komme

23.11.2007, 08:58

klarsoweit

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RE: limes berechnen
Heidinei. unglücklich

Schreibe im Zähler $\begin{eqnarray*} x = \sqrt x \cdot \sqrt x \end{eqnarray*}$ .
Weiter oben hatte CFusz schon darauf hingewiesen.
Nun kannst du eine Wurzel kürzen. Und dann endlich den Grenzwert bilden.

23.11.2007, 22:56

ulibear

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RE: limes berechnen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)} {\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x} {\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2*\sqrt{x}*\sqrt{x}} {\sqrt{x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2*\sqrt{x}} {\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2*\sqrt{0}} {\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{0} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

? oder wieder falsch

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

25.11.2007, 14:59

klarsoweit

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RE: limes berechnen
Jetzt stimmt es. Freude

Und wenn du noch zwischen die einzelnen Zeilen ein "=" schreibst, dann wäre das noch das Tüpfelchen auf dem i. Augenzwinkern

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