verschiedene stochastik-aufgaben

18.11.2007, 17:00

pusteblume-88

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verschiedene stochastik-aufgaben

Hallo,

ich wollte mich mal an eine Berichtigung meiner Klausur machen, und habe einige Probleme festgestellt.
Aufgabe 1 lautet:

In einer Urne liegt eine unbekannte Anzahl gleichartiger Kugeln, die Zahldarstellungen (von nun an kurz: Zahlen) von "1" bis "10" tragen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit der zahl "i" zu ziehen, sei $\begin{eqnarray*} p_i=1\le i\le10 \end{eqnarray*}$ .
Aus der Urne wird stets mit Zurücklegen gezogen.

a) In dieser Teilaufgabe können Sie von lauter gleichen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i=1\le i\le10 \end{eqnarray*}$ ausgehen. Es werden sechs Kugeln gezogen und die Zahlen notiert.

Berechnen sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse
A: Von sechs Zahlen sind drei gerade und drei ungerade.
B: Unter den sechs Zahlen sind genau zweimal die drei und zweimal die sechs.
C: Alle sechs Zahlen sind verschieden.

sooo, mein erster Lösungsansatz war die Formel $\begin{eqnarray*} {n \choose k} * p^k + (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

bloß dann wusste ich nicht, was ich für $\begin{eqnarray*} n,k,p \end{eqnarray*}$ einsetzten sollte, weil p ja nicht eindeutig gegeben ist.....
mein Lehrer meinte im Nachhinein, der Ansatz wäre der Beste....bloß WARUM??
vlt kann mir einer nicht nur das Ergebnis sagen, sondern auch den Grund, für genau DIESEN Rechenweg...

19.11.2007, 07:40

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Hallo pusteblümchen

Zitat:

sooo, mein erster Lösungsansatz war die Formel $\begin{eqnarray*} {n \choose k} * p^k + (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

bloß dann wusste ich nicht, was ich für $\begin{eqnarray*} n,k,p \end{eqnarray*}$ einsetzten sollte, weil p ja nicht eindeutig gegeben ist.....

Dein Ansatz ist sehr gut, denn p ist gegeben:

Zitat:

a) In dieser Teilaufgabe können Sie von lauter gleichen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_i=1\le i\le10 \end{eqnarray*}$ ausgehen. Es werden sechs Kugeln gezogen und die Zahlen notiert.

somit ist z. B. P(1)=1/10

19.11.2007, 17:35

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
mmh, ok

aber wie kann man sich sicher sein, dass p=1/10 ist??

es liegt doch irgendwo zwischen 1 und 10...

19.11.2007, 18:30

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
na, von mir aus soll p=1/10 sein....
dann habe ich nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} {6 \choose 3} * (1\frac{1}{10})^3 * (1-\frac{1}{10})^{6-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0,01458=1,45% \end{eqnarray*}$ n bissle wenig, oder nicht??

20.11.2007, 11:30

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Zu deiner ersten Frage: Da die Auftretenswahrscheinlichkeit jeder Zahl von 1 bis und mit 10 gleich ist, ist sie 1/10.

Zur zweiten Frage: Ja, 0.01458 ist etwas wenig. Ich komme auf etwas anderes:

$\begin{eqnarray*} \binom63\cdot\left(\frac12\right)^3\cdot\left(\frac12\right)^3 = \frac{5}{16}=0.3125 \end{eqnarray*}$

Du wählst 3 von 6 Kugeln aus, die gerade sein sollen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Gerade Zahl zu ziehen, ist 1/2 (weil nämlich die Hälfte aller Zahlen gerade sind). Und die Gegenwahrscheinlichkeit ist natürlich auch 1/2.

20.11.2007, 18:14

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
mmh, ok...klingt gut^^

aber müsste es nicht vom logischen denken her schon 50% sein?? denn wenn ich einmal ziehe, kann ich doch zu 50% ungerade und zu 50% gerade Zahlen ziehen....da ich die ja wieder zurücklege, bleibt das verhältnis also gleich....
Warum kann ich nicht so denken??

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20.11.2007, 19:58

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Auf das Gefühl kann man sich bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung selten verlassen; Stichwort hierzu beispielsweise Geburtstagsparadoxon, aber auch bedingte Wahrscheinlichkeit.

Ich versuche, es anschaulich zu erklären: Bei jeder Kugel, die du ziehst, kannst du "es vermasseln", somit nimmt die Chance ab, je länger du weiter ziehst. Die W'keit, dass eine einzige gezogene Kugel gerade ist, beträgt 50%.

In deinem Beispiel müssen drei von sechs Kugeln gerade sein, und es gibt 20 Möglichkeiten, drei Kugeln aus sechs auszuwählen; *das* ist "ein Vorteil" (es vergrössert die Chance). Die Tatsache, dass man es sechsmal "richtig hinbekommen" muss, ist hingegen "ein Nachteil".

Wie gesagt: Es ist manchmal nicht ganz ohne, das anschaulich zu erklären, ohne sich dabei um Kopf und Kragen zu reden....

20.11.2007, 20:32

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
ok, einigen wir uns darauf, dass bei aufgabe 1 a) A die von dir errechneten 0,3125 also dann 31,25% herauskommen!!

folglich müsste a) B dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \binom62\cdot\left(\frac{2}{10}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{10}\right)^4 \end{eqnarray*}$
+ das ganze nochmal??

nee, ich glaub, das kann ich da doch nicht so ganz anwenden, oder??
auf jeden fall fallen diese 1/2 ja we, jetzt muss ich 2 mal 2 gleiche ziehen, und die anderen beiden zahlen sind uninteressant, dürfen aber nicht 3 oder 6 sein....
in der klausur hatte ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}\cdot\frac{2}{10} \end{eqnarray*}$ habe da aber irgendetwas nicht mitberücksichtigt...bloß ich weiß nicht was...

21.11.2007, 07:40

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Hmm...Genau zweimal die drei und zweimal die sechs. Das könnte man so rechnen:

$\begin{eqnarray*} P(B)=\underbrace{\binom62\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^2}_{\text{2xsechs}}\cdot\underbrace{\binom42\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^2}_{\text{2xdrei}}\cdot\underbrace{\binom22\cdot\left(\frac{8}{10}\right)^2}_{\text{2xandere}}=\frac{18}{3125} \end{eqnarray*}$

Du warst also nahe dran:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \binom62\cdot\left(\frac{2}{10}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{10}\right)^4 \end{eqnarray*}$
+ das ganze nochmal??

Was du rechnest, ist z. B.:

2 von 6 Kugeln müssen jeweils eine von zwei bestimmten Ziffern (z.B. sechs und drei, aber auch vier und fünf) haben und die anderen vier müssen ebenfalls jeweils eine von zwei bestimmten Ziffern (eventuell sogar die gleichen wie die von vorher!) haben.

21.11.2007, 11:46

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
ok, vielen danke, aber muss da nicht zwischen deinen geschweiften klammern ein + statt ein * dazwischen??
obwohl...ich seh grad, das wird dann noch höher von der prozentzahl her....und 85% erscheinen mir doch sehr hoch für diese aufgabe^^

21.11.2007, 12:19

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Bitteschön.

Unabhängige Wahrscheinlichkeiten werden miteinander kombiniert, indem man sie multipliziert:

P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
P(B) = Wahrscheinlcihkeit, dass B eintritt

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{eqnarray*}$ (Wahrscheinlichkeit, dass A und B zusammen eintreten)
$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \end{eqnarray*}$ (Wahrscheinlichkeit, dass A oder B oder beide eintreten)

Wie gesagt: Dies gilt, wenn A und B voneinander unabhängig sind.

21.11.2007, 15:01

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Idee!

Idee!

ok, ich glaub, ich verstehe

und 1 a) C sieht dann so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{10}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot...\cdot\frac{5}{10} \end{eqnarray*}$

hat mein Lehrer zumindest so dahinter geschrieben^^....aber ich verstehe auch den grund, weil ich ja für die erste zahl alle 10 möglichkeiten habe, für die 2. zahl dann eine weniger und so weiter bis zur 6. Zahl....obwohl..jetzt bin ich bei möglichkeiten und nicht bei wahrscheinlichkeiten *grübel*

ahja, stimmt garnicht. wahrscheinlichkeiten wären doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{9}\cdot...\cdot\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ aber da ich die zehntel beibehalte...müssten das W-keiten sein....oder nicht??

21.11.2007, 16:27

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Vielleicht überlegst du zuviel.... ;-)

Die Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} \frac{10}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\cdots\cdot\frac{5}{10}= \frac{10!}{4!\cdot10^6} \end{eqnarray*}$

Auch deine erste Überlegung war im Grunde richtig: Die "Chance" dass die erste Kugel von allen anderen verschieden ist, ist 1 (da es noch keine anderen Kugeln gibt). Die Chance für die zweite Kugel ist 9/10, denn von 10 möglichen Fällen sind 9 gut.

Wenn du über die Möglichkeiten gehen willst:

Für die erste Kugel hast du 10 Möglichkeiten, für die zweite 9, usw. Also ist 10!/4! die Anzahl günstiger Fälle. Und die Anzahl möglicher Fälle ist 10^6. Da kommt das gleiche Resultat heraus.

22.11.2007, 13:36

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
lol, zu viel überlegen...geht das überhaupt??^^ aber ok, die Frage stell ich lieber im Philosophie-forum^^

Aufgabe 1 b) hatte ich soweit richtig, brauch ich also hier nicht posten..allerdings hab ich bei aufgabe 1 c) grade mal einen von 8 Punkten -.-

die lautete: Angenommen, in der Urne seien jetzt 1200 Kugeln wieder mit den Zahlen von 1 bis 10. Für die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ , mit denen eine Kugel mit der Zahl i gezogen wird, gelten die Bedingungen

(*) $\begin{eqnarray*} p_i=i\cdotp_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\le i\le9 \end{eqnarray*}$
und (**) $\begin{eqnarray*} p_1:p_{10}=1:15 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie den Wert von $\begin{eqnarray*} p_10 \end{eqnarray*}$ und die Anzahl der Kugeln mit der Zahl 10 in der Urne

da hatte ich einfach nur p1 ausgerechnet...und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$ raus.
und wie viele 10er in der urne sind, ist doch eig 1200 : 10

...hab eher das gefühl, dass ich grade zu wenig denke^^

22.11.2007, 13:57

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Hallo!

Du meinst:

(*) $\begin{eqnarray*} p_i=i\cdot p_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\le i\le9 \end{eqnarray*}$
und (**) $\begin{eqnarray*} p_1:p_{10}=1:15 \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} p_1 = 1\cdot p_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2 = 2\cdot p_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_3 = 3\cdot p_1 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} p_9 = 9\cdot p_1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p_{10} = 15\cdot p_1 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (1+2+3+\cdots+9+15) \cdot p_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Und du bekommst für p1?

22.11.2007, 21:17

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
p1 wäre dann 0,01666

die 1/15 aus meiner klausur sind aber n bissle größer: 0,0666 nur is da n häkchen dran...

23.11.2007, 07:55

Egon

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Gratulation! Die 1/60 für p1 sind richtig.

25.11.2007, 16:12

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
Schön und gut, dann ist p1 eben 1/60
aber wie viele 10er-kugeln sind denn jetzt in der Urne?? eigentlich doch 120, aber irgendwie war mir die Lösung etwas ZU einfach^^

26.11.2007, 08:32

Philipp Imhof

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben

Zitat:

Schön und gut, dann ist p1 eben 1/60

1/60 und deine 0.016666.... sind das selbe.

Wenn p10 = 15/60 = 1/4 ist, dann heisst das wohl, dass 1/4 aller Kugeln 10er sind.

120 wären es, wenn weiter die Bedingung von Teilaufgabe A gelten würde (nämlich dass alle Kugeln gleich häufig sind).

04.12.2007, 22:35

pusteblume-88

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RE: verschiedene stochastik-aufgaben
mmh, ich dachte, dass der text, der VOR a) steht allgemein für die GANZE aufgabe gilt....

naja, egal, mein nächstes problem ist folgendes:

d) In dieser Teilaufgabe können sie davon ausgehen, dass 20% der Kugeln in der Urne die Zahl 10 tragen. Ermitteln sie die Mindestanzahl n von Ziehungen einer Kugel aus der Urne (mit Zurücklegen), um mit der Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens eine Kugel mit der 10 zu erhalten.

mein ansatz: rein logisch betrachtet wären unter 100 kugeln ja 20 mit der 10...also kann ich allerhöchstens 80 mal ziehen - stop...nee, es ist ja MIT zurücklegen..... - dann kann ich ja, wenn ich pech habe...unendlich oft ziehen....höö??

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