Positiv Definite Tridiagonalmatrizen

Neue Frage »

Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv Definite Tridiagonalmatrizen
Hallo,
ich hänge an dieser Aufgabe fest:
Aufgabe 1 (Positiv Definite Tridiagonalmatrizen) (4 Punkte)
Gegeben sei folgende Matrix für a aus R:
[latex]A =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\0 & -a & 2 &-1 \\0 & 0&  -1 & 2  \end{pmatrix} [/latex]
.
a) Bestimmen Sie alle Werte von a, für die die Matrix positiv definit ist.
b) Geben Sie für die Fälle aus a) die Cholesky-Zerlegung der Matrix an.

Nur wie soll ich daran gehen?

mh irgendwie bekomm ich das mit den Formeln nicht richtig hin,
hier noch einmal die Matrix ohne den Formeleditor

2 −1 0 0
−1 2 −a 0
0 −a 2 −1
0 0 −1 2


Edit (DS): LaTeX
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiv Definite Tridiagonalmatrizen
---> Prinzip "Mathe online verstehen!"

Wie weit kommst du denn? Oder was genau ist dir unklar?
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Berechne die Cholesky-Zerlegung, A ist genau dann positiv definit, wenn alle Einträge in der vorkommenden Diagonalmatrix positiv sind. Damit hast du die b) dann auch schon erledigt.
mfG 20
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ berechne das charakteristische Polynom und dessen Nullstellen (die Eigenwerte), das dürfte bei sovielen Nullen nicht allzu problematisch sein.
Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »

Mh irgendwie schaff ich es nicht das char. Pol. zu bestimmen. Ist doch hier nur det (xE-A) und dann das Produkt der Diagonaleinträge also (x-2)^4 - 2 oder etwa nicht?
Aber das bringt mir ja auch nichts und ich bekomm dafür irgendwie keine andere Darstellung hin unglücklich
Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiv Definite Tridiagonalmatrizen
irgendwie hatte sich oben wohl ein Fehler eingeschlichen, so sieht die richtige Matrix aus:
[latex]A =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -a & 0 \\0 & -a & 2 &-1 \\0 & 0&  -1 & 2  \end{pmatrix} [/latex]

zu Teil a hab ich mir nun Überlegt, dass ich die Matrix in Hauptunterdeterminanten unterteilen kann. Also H1=(2), [latex]h_2 =\begin{pmatrix} 2 & -1  \\ -1 & 2  \end{pmatrix} [/latex]
[latex]H_3 =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0  \\ -1 & 2 & -a  \\0 & -a & 2 \\0 & 0&  -1  \end{pmatrix} [/latex] und H4=A
Bestimme ich nun die Determinaten davon, dann sind alle positiv und nur bei H3 kommt a vor, für |h3| = 8-2a^2 folgt dann, dass a>2 sein muss.
Kann das stimmen?

Mit dem cholesky-Verfahren komm ich leider noch gar nicht klar, hatten dazu auch kein Beispiel....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel
LDL^T-Zerlegung

[latex]d_{11} = a_{11}= 9[/latex]

[latex]l_{21} = \frac{a_{21}}{d_{11}} = \frac{-36}{9} = -4[/latex]

[latex]l_{31} = \frac{a_{31}}{d_{11}} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}[/latex]


K=2

[latex]d_{22}=a_{22} - d_{11}\cdot l_{21}^2 = 192 - 9 \cdot (-4)^2 = 48 [/latex]

[latex]l_{32} = \frac{a_{32} - d_{11}\cdot l_{31} \cdot l_{21}}{d_{22}} = \frac{-180 - 9 \cdot \frac{10}{3}\cdot (-4)}{48}= -\frac{5}{4}[/latex]


K=3

[latex]d_{33} = a_{33} - d_{11}\cdot l_{31}^2 - d_{22} \cdot l_{32}^2 = 180 - 9 \cdot (\frac{10}{3})^2 - 48 \cdot (-\frac{5}{4})^2= 5[/latex]


Somit erhält man die LDL^T-Zerlegung:

[latex]\begin{pmatrix}9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ \frac{10}{3}&-\frac{5}{4}&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9&0&0 \\ 0&48&0 \\ 0&0&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-4 & \frac{10}{3} \\ 0&1&-\frac{5}{4} \\ 0&0&1 \end{pmatrix}[/latex]


Cholesky-Zerlegung

zunächst müssen wir nun die Wurzeln aus den Eintragen der vorherigen Diagonalmatrix ziehen

[latex]\hat l_{11} =\sqrt{9} = 3[/latex]

[latex]\hat l_{22} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}[/latex]

[latex]\hat l_{33} = \sqrt{5}[/latex]


Danach muss da Produkt [latex]LD^{\frac{1}{2}}[/latex] gebildet werden.

[latex]\hat l_{21} =l_{21} \cdot \hat l_{11} = -4 \cdot 3 = -12 [/latex]

[latex]\hat l_{31} =l_{31} \cdot \hat l_{11} = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10 [/latex]

[latex]\hat l_{32} =  l_{32} \cdot \hat l_{22} = - \frac{5}{4} \cdot 4\cdot{3} = - 5 \sqrt{3} [/latex]



Somit lautet die Cholesky-Zerlegung:

[latex]\begin{pmatrix}9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3&0&0 \\ -12&4\sqrt{3}&0 \\ 10&- 5 \sqrt{3}&\sqrt{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-12 & 10 \\ 0& 4 \sqrt{3}&-5 \sqrt{3} \\ 0&0&\sqrt{5} \end{pmatrix}[/latex]
Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, bezieht sich das denn auch konkret auf diese Aufgabe? oder ist das nur ein Beispiel
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also du wirst doch sehen, dass die Matrizen nicht identisch sind. Ist nur ein Beispiel. Augenzwinkern
Michi87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel
Hallo, ich sitze gerade auch vor dieser Aufgabe. Und bin mir bei ein paar Einträgen nicht sicher.
[latex]l_{42}=\frac{a_{42}-d_{11}l_{31}l_{21}}{d_{22}}[/latex]
[latex]l_{43}=?[/latex]
und k=4: [latex]d_{44}=?[/latex]

[latex]\hat l_{41} =  l_{41} \cdot \hat l_{11}  [/latex]
[latex]\hat l_{42} =  l_{42} \cdot \hat l_{22}  [/latex]

Stimmen meine "Werte" und kann mir jemand bei den anderen helfen?
Michi87 Auf diesen Beitrag antworten »

kann keiner helfen? verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »