Positiv Definite Tridiagonalmatrizen

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Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv Definite Tridiagonalmatrizen
Hallo,
ich hänge an dieser Aufgabe fest:
Aufgabe 1 (Positiv Definite Tridiagonalmatrizen) (4 Punkte)
Gegeben sei folgende Matrix für a aus R:

.
a) Bestimmen Sie alle Werte von a, für die die Matrix positiv definit ist.
b) Geben Sie für die Fälle aus a) die Cholesky-Zerlegung der Matrix an.

Nur wie soll ich daran gehen?

mh irgendwie bekomm ich das mit den Formeln nicht richtig hin,
hier noch einmal die Matrix ohne den Formeleditor

2 −1 0 0
−1 2 −a 0
0 −a 2 −1
0 0 −1 2


Edit (DS): LaTeX
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiv Definite Tridiagonalmatrizen
---> Prinzip "Mathe online verstehen!"

Wie weit kommst du denn? Oder was genau ist dir unklar?
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Berechne die Cholesky-Zerlegung, A ist genau dann positiv definit, wenn alle Einträge in der vorkommenden Diagonalmatrix positiv sind. Damit hast du die b) dann auch schon erledigt.
mfG 20
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ berechne das charakteristische Polynom und dessen Nullstellen (die Eigenwerte), das dürfte bei sovielen Nullen nicht allzu problematisch sein.
Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »

Mh irgendwie schaff ich es nicht das char. Pol. zu bestimmen. Ist doch hier nur det (xE-A) und dann das Produkt der Diagonaleinträge also (x-2)^4 - 2 oder etwa nicht?
Aber das bringt mir ja auch nichts und ich bekomm dafür irgendwie keine andere Darstellung hin unglücklich
Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiv Definite Tridiagonalmatrizen
irgendwie hatte sich oben wohl ein Fehler eingeschlichen, so sieht die richtige Matrix aus:


zu Teil a hab ich mir nun Überlegt, dass ich die Matrix in Hauptunterdeterminanten unterteilen kann. Also H1=(2),
und H4=A
Bestimme ich nun die Determinaten davon, dann sind alle positiv und nur bei H3 kommt a vor, für |h3| = 8-2a^2 folgt dann, dass a>2 sein muss.
Kann das stimmen?

Mit dem cholesky-Verfahren komm ich leider noch gar nicht klar, hatten dazu auch kein Beispiel....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel
LDL^T-Zerlegung








K=2






K=3




Somit erhält man die LDL^T-Zerlegung:




Cholesky-Zerlegung

zunächst müssen wir nun die Wurzeln aus den Eintragen der vorherigen Diagonalmatrix ziehen








Danach muss da Produkt gebildet werden.









Somit lautet die Cholesky-Zerlegung:

Physiker- Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, bezieht sich das denn auch konkret auf diese Aufgabe? oder ist das nur ein Beispiel
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also du wirst doch sehen, dass die Matrizen nicht identisch sind. Ist nur ein Beispiel. Augenzwinkern
Michi87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel
Hallo, ich sitze gerade auch vor dieser Aufgabe. Und bin mir bei ein paar Einträgen nicht sicher.


und k=4:




Stimmen meine "Werte" und kann mir jemand bei den anderen helfen?
Michi87 Auf diesen Beitrag antworten »

kann keiner helfen? verwirrt
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