Erzeugendensystem u. lösen linearer gleichung

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dura Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem u. lösen linearer gleichung
hab den beitrag ausversehen ins schülerboard gesetzt... also hier nochmal das gleiche:

ich soll folgendes 3-tupel von paaren darauf untersuchen, ob Erzeugendensystem in Q²

(1,3), (-1,0), (4,2) mein problem ist das lösen der linearen gleichung die sich daraus ergibt

c - d + 4e = x
3c + 2e = y



ich habe keine ahnung wie man sowas löst

ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Setze z.B. e = 0.
 
 
dura Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich das einfach 0 setzen?
verändert das nicht das ganze gleichungssystem?

das will nicht in meinem kopf...
hab jetzt ewig rumprobiert aber ich komm nicht weiter
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dura
wie kann ich das einfach 0 setzen?


Das steht in der Definition in deinem Skript. Die c, d und e muss es einfach nur GEBEN. Also, wenn es Zahlen c, d und e gibt, so dass das LGS erfuellt ist, dann ist (x,y) mit den drei Vektoren darstellbar. Und darum geht es ja.
dura Auf diesen Beitrag antworten »

dass es c,d und e geben muss umd das es lgs durch (x,y) darzustellen is ja ok.
aber wie?


ich muss doch die folgende gleichung lösen?

c - d + 4e = x
3c + 2e = y




aber wie?
wie löse ich diese gleichung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du, wie WebFritzi schon sagte, du einfach e=0 setzt. Die sich daraus ergebenden Gleichungen lassen sich bequem nach c und d auflösen. Augenzwinkern
dura Auf diesen Beitrag antworten »

dann hätte ich also

c - d = x
3c = y


heisst c = y/3 , d = y/3 - x


das ergebnis ist aber:

c = y
d = (x-3y)
e = (-y)


das mit e=0 setzen kann also nicht stimmen oder irre ich mich da?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dura
das ergebnis ist aber:

c = y
d = (x-3y)
e = (-y)

Wer sagt das?

EDIT: wenn du diese Lösung in die 1. Gleichung einsetzt, stimmt die schon nicht.
dura Auf diesen Beitrag antworten »

hm... ok kann nicht stimmen, weil das nicht aufgeht (wohl falsch von tafel abgeschrieben)



auf jedenfall muss für e auch was rauskommen... das geht aber nicht wenn ich e=0 setze

e=-y stimmt auf jedenfall...

das (x-3y) is nicht ganz richtig

y/3 - x stimmt aber auch nicht...


ich kapier sowieso nicht wieso man einfach was null setzen kann... das verändert ja die gleichung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also jetzt lehnen wir uns mal zurück und diskutieren die Gemengelage:

Du hast 2 Gleichungen mit 3 Variablen c, d und e. Wenn ich es richtig verstehe, geht es nicht darum, sämtliche möglichen Lösungen zu bestimmen, sondern darum, daß die Existenz einer Lösung gezeigt wird. Also gehen wir mal mutig ran und setzen einfach mal e=0. Und siehe da, es gibt dann für c und d Lösungen. Und dieses für jeden beliebigen Wert von x und y.

Mit dem Setzen von e=0 wird im Prinzip der Vektor (4, 2) ausgeblendet und das Erzeugendensystem ausschließlich mit den Vektoren (1,3) und (-1,0) aufgebaut.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@dura: Es gibt hier nicht nur eine Lösung, sondern unendlich viele. Ansonsten: Wenn dir zweimal gesagt wird, dass das Setzen von e = 0 schon OK ist, dann kannst du das ruhig glauben.
dura Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist schon klar, dass es unendlich viele lösungen gibt.

aber die frag ist nicht;... ist (1,3), (-1,0) ein EZS?

sondern; ist (1,3), (-1,0), (4,2) ein EZS ?


ich versteh nicht, dass man dann einfach weglassen kann was man nicht will.

vorallem haben wir für e auch eine lösung rausbekommen, und mich würde einfach interessieren wie das geht!


nebenbei gehts ja nicht um glauben sondern ums verstehen smile

aber vielen dank auf jedenfall, dass ihr euch die mühe macht.




EDIT:

die richtige lösung ist auf jedenfall:


c = y
d = (-x -3y)
e = (-y)

aber wie man daraufkommt verstehe ich nach wie vor nicht.

irgendwie muss das doch funktionieren?!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dura
die richtige lösung ist auf jedenfall:


c = y
d = (-x -3y)
e = (-y)


Nein. Zum letzten mal: Es gibt nicht DIE richtige Lösung!!!


Zitat:
Original von dura
aber wie man daraufkommt verstehe ich nach wie vor nicht.


Wie man darauf kommt?

c - d + 4e = x
3c + 2e = y.

==> 3c = y - 2e ==> c = y/3 - (2/3)e

Eingesetzt in die erste Gleichung:

y/3 - (2/3)e - d + 4e = x ==> d = y/3 - (2/3)e - x + 4e = y/3 + (10/3)e - x.

Setze nun t = e. Dann ist die Gesamtheit aller Lösungen des Gleichungssystems gegeben durch

c = y/3 - (2/3)t
d = y/3 + (10/3)t - x
e = t

mit t aus IR. Mit t = -y zum Beispiel ergibt sich

c = y
d = -3y - x
e = -y.

Und das ist genau die Lösung von dir da oben.
dura Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von dura
die richtige lösung ist auf jedenfall:


c = y
d = (-x -3y)
e = (-y)


Nein. Zum letzten mal: Es gibt nicht DIE richtige Lösung!!!


hmmm... jetzt bin ich verwirrt... ich dachte mir das "unendlich viele" bezieht sich auf die vektoren die ich daraus bilden kann

meinst du damit dass es unendlich viele c, d, und e, gibt, die diese gleichung erfüllen?
wenn ja wie finde ich denn da noch andere?



Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von dura
aber wie man daraufkommt verstehe ich nach wie vor nicht.


Wie man darauf kommt?

c - d + 4e = x
3c + 2e = y.

==> 3c = y - 2e ==> c = y/3 - (2/3)e

Eingesetzt in die erste Gleichung:

y/3 - (2/3)e - d + 4e = x ==> d = y/3 - (2/3)e - x + 4e = y/3 + (10/3)e - x.

Setze nun t = e. Dann ist die Gesamtheit aller Lösungen des Gleichungssystems gegeben durch

c = y/3 - (2/3)t
d = y/3 + (10/3)t - x
e = t

mit t aus IR. Mit t = -y zum Beispiel ergibt sich

c = y
d = -3y - x
e = -y.

Und das ist genau die Lösung von dir da oben.


super, vielen dank.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dura
aber die frag ist nicht;... ist (1,3), (-1,0) ein EZS?

sondern; ist (1,3), (-1,0), (4,2) ein EZS ?

Wenn schon (1,3), (-1,0) ein EZS ist, dann erst recht auch das andere.
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