Halbordnungsrelation

19.11.2007, 22:08

hyperbel

Halbordnungsrelation

Hallo, hab ne Frage zu folgendem Problem:

"Gegeben ist eine strenge Halbordnung S auf einer Menge A. Zeigen Sie, dass dann die Relation

$\begin{eqnarray*} R=S\overset{}{\cup} \{{{(a,a)|a\in A}} \} \end{eqnarray*}$ "

Wäre zum Beispiel das Zeigen der Reflexivität so richtig:

"a R a, da jedes Element auch in Relation zu sich selbst steht"

Bei der Asymmetrie hab ich eine Frage. Es würde ja heißen:

"wenn a R b und b R a --> a=b, also wenn a element von A ist und umgekehrt wieder a element von A, dann ist a=a. "

Ist das so auch richtig?

Wäre echt nett, wenn jemand meine Lösung kontrollieren würde...
Vielen Dank im Voraus!

19.11.2007, 22:12

hyperbel

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Sorry, ich meinte Antisymmetrie, hab aus versehen Asymmetrie gesagt :p

sorry

19.11.2007, 22:52

Abakus

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RE: Halbordnungsrelation

Zitat:

Original von hyperbel
"Gegeben ist eine strenge Halbordnung S auf einer Menge A. Zeigen Sie, dass dann die Relation

$\begin{eqnarray*} R=S\overset{}{\cup} \{{{(a,a)|a\in A}} \} \end{eqnarray*}$ "

OK, was willst du für $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ zeigen ?

Was verstehst du unter einer strengen Halbordnung ? (es gibt da verschiedene Möglichkeiten der Definition, deshalb frage ich)

Grüße Abakus smile

19.11.2007, 23:13

hyperbel

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Eine strenge Halbdordnung ist transitiv und asymmetrisch, also für eine Beispielrelation R' über einer Menge M gilt:

$\begin{eqnarray*} (a R b) => (b,a) \ \not \in R \end{eqnarray*}$

19.11.2007, 23:39

Abakus

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RE: Halbordnungsrelation

Zitat:

Original von hyperbel
Wäre zum Beispiel das Zeigen der Reflexivität so richtig:

"a R a, da jedes Element auch in Relation zu sich selbst steht"

Bei der Asymmetrie hab ich eine Frage. Es würde ja heißen:

"wenn a R b und b R a --> a=b, also wenn a element von A ist und umgekehrt wieder a element von A, dann ist a=a. "

Ist das so auch richtig?

Die Reflexivität ist nach Definition ja erfüllt, die Antisymmetrie sehe ich noch nicht korrekt begründet: du sollst ja a=b zeigen hier.

Grüße Abakus smile

19.11.2007, 23:45

hyperbel

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naja, dann mach ich halt alles für (a.b)... ich dachte nur, weil ich das paar (a,a) benutzen soll, hab ich in der antisymmetrie auch so zeigen:

"wenn für (a,b)€A gilt: a R b und dementsprechend b R a, so bedeutet es ja, dass sowohl a als auch b element von A sind"
Aber das sagt doch nicht, dass a=b ist...

19.11.2007, 23:51

Abakus

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Zitat:

Original von hyperbel
"wenn für (a,b)€A gilt:

Also wenn, dann $\begin{eqnarray*} (a, b) \in R \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Grundmenge.

Du musst schon die Asymmetrie von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ irgendwie ins Spiel bringen, um weiterzukommen.

Grüße Abakus smile

20.11.2007, 00:02

hyperbel

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Eine Frage: Du meintest, die Reflexivität ist nach Definition ja erfüllt. Aber ich muss es doch trotzdem zeigen. Außerdem ist die strenge Halbordnung ja nicht reflexiv, aber unsere Relation R soll es sein, d.h. ich kann nicht sagen, dass sie erfüllt ist, sondern muss es zeigen. Es sei denn, ich habe etwas übersehen...:-/

Zu S: Wie kann ich denn S miteinbeziehen? S wird vereinigt mit der Eigenschaft, dass alle Paare (a,a)€A sein sollen. Kann ich wennschon daraus die Relation herausleiten:

S= {(a,a)| € A} ?
Aber wo ist dann mein Ausdruck, meine Aussage, auf die sich die Relation aufbaut?

20.11.2007, 00:27

Abakus

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Zitat:

Original von hyperbel
Eine Frage: Du meintest, die Reflexivität ist nach Definition ja erfüllt. Aber ich muss es doch trotzdem zeigen. Außerdem ist die strenge Halbordnung ja nicht reflexiv, aber unsere Relation R soll es sein, d.h. ich kann nicht sagen, dass sie erfüllt ist, sondern muss es zeigen. Es sei denn, ich habe etwas übersehen...:-/

Du kannst zB schreiben: wegen $\begin{eqnarray*} \{(x, x) : x \in A\} \subseteq R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ reflexiv.

Zitat:

Zu S: Wie kann ich denn S miteinbeziehen? S wird vereinigt mit der Eigenschaft, dass alle Paare (a,a)€A sein sollen. Kann ich wennschon daraus die Relation herausleiten:

S= {(a,a)| € A} ?

$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist ja vorgegeben, dies gilt so i.A. nicht.

Also, hier eine Beweisskizze: du willst die Antisymmetrie von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ zeigen:

Seien demnach $\begin{eqnarray*} (a, b), (b, a) \in R \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ gilt, bist du fertig.

Nimm also an, es ist $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ . Nun muss $\begin{eqnarray*} (a, b) \in S \end{eqnarray*}$ folgen. $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist aber asymmetrisch, was bedeutet ... . (Hier sollte letztendlich ein Widerspruch folgen).

Insgesamt also fertig.

Grüße Abakus smile

20.11.2007, 00:57

hyperbel

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Hm...ich verstehe...ist eigentlich sehr plausibel....
Ich bin aber echt traurig, dass ich selbst nicht auf solch einen Beweis gekommen bin. Hab in der Schule Beweise nicht gehabt und jetzt haben wir noch nie gelernt, wie man Beweise führt, und trotzdem bekommen wir Aufgaben "Beweise...","Beweise...","Beweise..."...
Am Besten setze ich mich nochmal an Beweise ran

Ich hab dann noch eine Frage zu einem Ansatz einer Aufgabe:

Zur oberen Aufgabe ist noch gegeben:

"Zeigen Sie, dass für jede Halbordnung R die Relation $\begin{eqnarray*} S = R \setminus\{{(a,a)|a \in A}\} \end{eqnarray*}$ eine strenge Halborndung ist."

Ich könnte doch für S dann schreiben, dass es R und (nicht) $\begin{eqnarray*} \{{(a,a)|a \in A}\} \end{eqnarray*}$ ist und dann wie oben die Eigenschaften, diesmal für eine strenge Halbordnung zeigen. Ist der Ansatz richtig?

lg

20.11.2007, 17:43

Abakus

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Zitat:

Original von hyperbel
"Zeigen Sie, dass für jede Halbordnung R die Relation $\begin{eqnarray*} S = R \setminus\{{(a,a)|a \in A}\} \end{eqnarray*}$ eine strenge Halborndung ist."

Ich könnte doch für S dann schreiben, dass es R und (nicht) $\begin{eqnarray*} \{{(a,a)|a \in A}\} \end{eqnarray*}$ ist und dann wie oben die Eigenschaften, diesmal für eine strenge Halbordnung zeigen. Ist der Ansatz richtig?

Nachweisen müsstest du die Asymmetrie und Transitivität dann. Mit deinem Ansatz kann ich wenig anfangen, am Besten schreibst du es mal expllizit hin.

Grüße Abakus smile

20.11.2007, 18:27

hyperbel

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Hab die Aufgabe mit meinem Tutor heute besprochen...Hatte einige Denkfehler, kam aber auf die richtigen ergebnisse(da in der aufgabe mehr teilfragen waren)
Trotzdem Danke für deine Hilfe

Gruß Hyperbel smile

29.09.2008, 15:09

broomstick

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