Grenzwert bestimmen

18.04.2005, 20:30

Tinje

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Grenzwert bestimmen

Hallo,

Ich soll folgende Grenzwerte bestimmen:

(a) lim x-->2 ( [(1) / (x-2)] - [(5) / (x²+x-6)]

(b) lim x-->0 (1/x) (cotx - (1/x))

(c) lim x(Pfeil nach unten) 0 (cotx) hoch (sinx)

(d) lim x-->0+ ((2 hoch x)-1) hoch sinx

(e) lim x-->0 [lm (1-x)+x²] / [(e hoch x) - (e hoch -x)]

Ich hab schon ein riesen Problem bei den Ableitungen, da ich mit cot zB gar nicht zurecht komme und auch mit lim x (pfeil nach unten) 0 kann ich gar nichts anfangen.

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte, dies zu lösen und zwar so, dass iche s auch verstehe (also möglichst idiotensicher traurig

traurig

)

Tinje

18.04.2005, 20:43

iammrvip

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Hallo.

Ich würde z.B. bei (a) erstmal Hauptnenner bilden, dann kannst du wunderschön kürzen und den Grenzwert einfach durch Einsetzen bestimmen.

18.04.2005, 20:51

JochenX

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Zitat:

Ich hab schon ein riesen Problem bei den Ableitungen

mich würde ja auch brennend interessieren, wieso du hier übehaupt ableiten willst!??

aber bitte: cot(x)=cos(x)/sin(x), abzuleiten recht leicht mit quotientenregel!

Zitat:

lim x (pfeil nach unten) 0

das bedeutet x gegen 0, aber x>0, also x konvergiert "von oben" gegen 0.
analog dazu: pfeil nach oben.

versuche doch bitte latex zu verwenden (formeleditor), das liest sich sehr schlecht oben!

mfg jochen

18.04.2005, 21:02

Tinje

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das bringt mich nun ganz durcheinander... verwirrt

verwirrt

(a) war noch das wo ich glaubte, was ich noch am weitesten hinbekomme. Allerdings mach ich da doch nichts anderes als die Regel nach l'Hospital anzuwenden und Ableitungen zu bilden? Warum also auf einmal den Hauptsnenner bilden?

Ich will Ableitungen bilden, weil das so in meinem Hefter steht: Wir haben immer wieder eine Ableitung gebildet bis nicht mehr 0/0 rauskam sondern eine Zahl...und das war dann der Grenzwert..ich scheitere aber schon an den Ableitungen.

Danke für den cot und für den Tipp mit latex.

18.04.2005, 21:04

JochenX

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ich bin jetzt verwirrt, wo hast du denn bei der teilaufgabe a) den fall "0/0" ?
für mich steht da "unendlich-unendlich" als grenzwert, wenn ich gleich einsetze, was natürlich nicht ohne weiteres zu bestimmen ist...

aber de l'hospital kann man da nicht anwenden....

versuchs mal mit dem hauptnenner werde das selbst mal kurz nachrechnen....

mfg jochen

edit: geht wunnerba mim hauptnenner!

18.04.2005, 21:07

Tinje

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traurig

ich will nicht mehr...

also ja unedlich durch unendlch geht auch..aber das ist nicht der grenzwert...luat vorlesung muss ich in diesem fall solange die ableitung bilden und immer wieder einsetzen bis das eben nichtmehr raus kommt.

und wenn man dann irgentwann ml ineien Ableitung den Grenzwert hat kann man sagen das der existiert.

das mti dem hauptnenner kann ich ja gleich gar nicht.

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18.04.2005, 21:29

JochenX

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ich rede nicht von "unendlich durch unendlich"
bei a hast du eine summe, kein produkt!
du hast hier gar nix der form "irgendwas durch irgendwas"

also KEIN LHOSPTIAL

was ist denn das problem am "auf den hauptnenner bringen"??=

18.04.2005, 21:38

Tinje

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Wie soll ich denn sonst den Grenzwert bestimmen?? Ich hab das nicht anders gelernt und wenn doch dann ist es schon verdammt lang her.. verwirrt

verwirrt

Ja ehm Hauptnenner bilden bei ganz normalen Brüchen kann ich ja noch, aber dann stelle ich mioch dumm an, hatte 3 Jahre lang kein Mathe mehr und fang grade erst wieder an, also bitte nicht ganz für doof verkaufen. Hammer

Hammer

18.04.2005, 21:41

JochenX

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also wichtige regel:
du kannst nicht sehr oft lhospital anwenden! das geht nur in seltensten fällen!

zum hauptnenner: faktorisiere doch das 2gradige polynom x²+x-6 mal.
was bei natürlichen zahlen der primfaktor, das sind hier irreduzible polynome.
(x-2) ist z.b. schon vollständig zerlegt!

18.04.2005, 22:44

Tinje

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gibts nicht soetwas wie eine "idiotensichere" schritt für schritt anleitung zum bestimmen von grenzwerten? ich steig da einfach nicht durch..

18.04.2005, 22:46

JochenX

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gibt es nicht, da du jeden grenzwert evtl. anders behandeln musst.

für die fälle "0/0" oder "unendl/unendl" geht de l'hospital, bei solchen bruchaufgaben bietet sich eben zusammenfassen an...
und es gibt noch so viel...
sandwichkriterium..... etc.....

18.04.2005, 22:55

Tinje

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hab grad hier im Forum einen beitrag zur grenzwertermittlung gefunden, der besagt, das ich zB für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ x=0 einsetzen muss?

geht das Prinzio auch bei meinen Aufgaben?

18.04.2005, 23:01

JochenX

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naja, was besagt denn sonst lim x gegen 0?

das geht aber eben nur manchmal, z.b.
lim (x->0) 3x+5 =5 hier hast du kein problem damit, einfah x=0 zu setzen!

lim (x->0) 1/x-1/(2x) hier kannst du nicht einfach x=0 einsetzen.....
die einzelterme würden gegen unendlich gehen und du hättest "unendlich-unendlich" da und das könnte ja alles sein....
hier z.b wäre folgender weg angebracht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=\lim_{x \to 0} \frac{2}{2x}-\frac{1}{2x}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ und du erkennst: es divergiert
das beispiel ist etwas ähnlich deinem von oben!

mfg jochen

19.04.2005, 07:40

Tinje

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Guten Morgen,

Ich hab mich nun heute morgen gleich nochmal an meine mathe aufgaben gemacht und den Hauptnenner gebildet bei der Aufgabe (a)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} - \frac{5}{x²+x-6} \end{eqnarray*}$

ich hab nun einen gemeinsamen Hauptnenner gebildet und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$ einfach mit (x+3) multipliziert. Da kam ich dann insgesamt auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x²+x-6} - \frac{5}{x²+x-6} \end{eqnarray*}$

nun bin ich mir nicht sicher..aber ich habs dann einfach so zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{(x+3)-5}{x²+x-6} \end{eqnarray*}$

naja und setze ich nun 2 für x ein komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

und dies bedeutet wiederum ich komme doch mit meinem l'Hospital weiter!

19.04.2005, 08:47

JochenX

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nein jetzt gehts viel einfacher (wobei de l'hospital zwar nicht falsch wäre, aber total unnötig!), der anfang ist auf jeden fall richtig!
rechne doch den zähler mal aus.
danach: stichwort kürzen, das darfst du für x<>2!

19.04.2005, 09:02

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x²+x-6} - \frac{5}{x²+x-6}= \lim_{x \to 2} \frac{x+3-5}{(x-2)*(x+3)}=\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)*(x+3)}= \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x+3)} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

19.04.2005, 09:05

JochenX

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bist heute etwas lösig, koch?
das hätte tinje jetzt auch noch hinbekommen!!

und wenn ich mir dem dezenten hinweis noch erlauben darf:
kA, wie man das mit tex schreibt, aber zu dem = vor dem kürzungsschritt sollte noch x<>2 geschrieben werden!

mfg jochen

19.04.2005, 09:08

derkoch

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@ sorry!

traurig

ich hatte gar nicht gesehen , daß du schon was hingeschreiben hast. war mit dem Tex so beschäftig gewesen.

aber sie hatte sich so mit dem L'Hospital so rum gequält!

19.04.2005, 20:06

Tinje

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ich komme mit l'Hospital besser zurecht und ich habe mir neben die Aufgaben geschrieben, L'Hospital , dh soviel wie : ich muss die Grenzwerte mit l'Hospital bestimmen.

19.04.2005, 20:10

JochenX

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du kannst nach dem bringen auf den hauptnenner (aber erst danach) auch den satz von de l'hospital anwenden, dieser ist halt sehr sinnlos!

mal ein krasses beispiel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+4}=...? \end{eqnarray*}$
du kannst entweder 2 mal naheinander den satz von de l'hospital anwenden, oder einfach kürzen, was für x<>2 (denn x geht nur gegen 2, erreicht dies aber nie) erlaubt ist, bestimmen.

de l'hospital: 2 minuten
kürzen: 3 sekunden

mfg jochen

19.04.2005, 20:48

AD

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Zitat:

Original von LOED
und wenn ich mir dem dezenten hinweis noch erlauben darf:
kA, wie man das mit tex schreibt, aber zu dem = vor dem kürzungsschritt sollte noch x<>2 geschrieben werden!

Der dezente Hinweis ist unangebracht, er trifft zwar auf

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

zu, aber nicht auf

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+3)}= \lim\limits_{x\to 2} \frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

!!!

19.04.2005, 21:02

Tinje

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x²+x-6} - \frac{5}{x²+x-6}= \lim_{x \to 2} \frac{x+3-5}{(x-2)*(x+3)}=\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)*(x+3)}= \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x+3)} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

ja das habe ich raus.. nachdem ich den trick mit der binomischen formel raus hatte..gings ganz schnell.

19.04.2005, 21:07

Leopold

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Und wenn ihr alle die Differenz noch einklammern würdet, weil sich der Limes wohl auf sie insgesamt beziehen soll, dann wäre auch der korrekten Form Genüge getan.

19.04.2005, 21:13

JochenX

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Zitat:

nachdem ich den trick mit der binomischen formel raus hatte

aber eine binomische formel sehe ich hier trotzdem nicht (?)

Zitat:

gings ganz schnell

siehst du!?

26.10.2010, 14:49

Kleckerfritz

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tut mir leid, dass ich das nochmal aus dem Grab hole, aber wie schärft man denn sienen Blick dafür, dass x^2 + x - 6 man auch als den von koch geschriebenen Klammerausruck (x - 2) * (x + 3) schreiben kann?

26.10.2010, 14:52

klarsoweit

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Mit dem Satz von Vieta: man zerlege die -6 in 2 Faktoren, so daß deren Summe das -1-fache des Faktors vor dem x ergibt.
Da probiert man eben mal ein paar Möglichkeiten durch.

26.10.2010, 14:55

Kleckerfritz

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wow, danke dir für das Stichwort -> ab zu wikipedia smile

smile

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