Fixvektor |
| 20.11.2007, 20:06 | mareikae | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Fixvektor ich schreibe demnächst mal wieder eine Mathe-Klausur und mein Lehrer hat angedeutet in welche Richtung der Beweis in der Klausur gehen könnte. Leider komme ich nicht von alleine auf die Lösung, wäre also für jede Hilfe dankbar. Reguläre Matrizen haben ja nur einen Fixvektor, es gibt doch jedoch auch andere Matrizen mit mehreren Fixvektoren. Wie kann ich beweisen, dass diese existieren und was für Matrizen sind das? Danke im voraus! Mareike |
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| 20.11.2007, 21:29 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie berechnest du denn einen Fixvektor? Steht das Ganzer im zusammenhang mit Prozessmatrizen oder geht es dir allgemein um "Eigenvektoren"? |
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| 20.11.2007, 22:26 | mareikae | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also fixvektor berechne ich normalerweise so A = matrix x = fixvektor A*x=x und daraus dann die gleichungen entnehmen.... ich muss zugeben, dass ich den begriff "Eigenvektor" noch nie gehört habe.... denke aber trotzdem, dass es eher in diese Richtung geht, da mein Lehrer ein Freund vom Allgemeinen und Abstrakten ist 
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| 20.11.2007, 22:56 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dann habe ich dich richtig verstanden. Ein Eigenvektor ist ein Vektor, für den gilt für ein bestimmtes (auch "Eigenwert" der Matrix A genannt. ACHTUNG: eine Matrix kann mehr als nur einen Eigenwert und damit auch mehrere Eigenvektoren besitzen.) Ein FIXVEKTOR ist nach deiner definition ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Das heisst als . Es kann aber zu einer Matrix höchstens einen Fixvektor geben, da es zu einem Eigentwert (bei einem Fixvektor ist der Eigenwert 1) immer nur höchstens einen Eigenvektor gibt. |
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| 20.11.2007, 23:08 | mareikae | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aso... dankeschön für die super erklärung! =) |
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| 21.11.2007, 09:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unfug. 
Die Matrix hat den Eigenwert 1 und die Eigenvektoren (1, 0) und (0, 1). |
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| 21.11.2007, 16:20 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh das ist wahr... Also vergiss alles was ich gesagt habe -.- Hat meine Lehrerin mich mal wieder vera**** Habe das genau so hier aufgebschrieben. Hier steht "Ein homogenes LGS hat genau dann genau eine nichttriv. Lösung, wenn det(A) = 0 ist. Das ist dovch dann total falsch, oder?! Oder bilder die Einheitsmatrix da ne ausnahme? |
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| 21.11.2007, 16:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist vollkommen richtig. |
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| 21.11.2007, 16:36 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, aber um die Eigenvektoren von der Einheitsmatrix (E) zu bestimmen muss ich doch den Eigenwert ausrechnen (=1) und dann rechne ich doch und das ist doch auch ein homogenes LGS und hat aber unendlich viele Lösungen?! Oder zählt es nicht als "richtiges" homogenes LGS? |
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| 21.11.2007, 17:52 | mareikae | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
verstehe ich richtig, dass ein Eigenvektor dann im Prinzip ist? (wenn A die Matrix ist, x dann der Vektor und k eine Variable) und wenn der Eigenwert dann 1 wäre, dann hätte ich doch nen Fixvektor, oder? und wenn man hat, dann kann man das doch gar nicht ausrechnen, weil dann doch gleich dem Nullvektor ist. oder bin ich jetzt total blöd? |
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| 21.11.2007, 18:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip ja. Genau genommen hat das LGS einen Lösungsraum, der von zwei Basisvektoren aufgespannt wird. |
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| 21.11.2007, 19:35 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, aber dann sind es doch im Prinzip nur alle Vielfachen der Einheitsmatrix, bei denen es zu einem Eigenwert mehrere Eigenvektoren geben kann, oder?! ^^ Weil eigentlich sollte eine homogenes LGS mit det(A) = 0 ja nur GENAU eine Lösung haben... |
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| 21.11.2007, 22:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ein Mißverständnis. Ich schreibe den Satz nochmal: Ein homogenes LGS hat genau dann mindestens eine (oder auch mehrere) nichttriviale Lösungen, wenn det(A) = 0 ist. Zusatz: wenn ein homogenes LGS eine nichttriviale Lösung hat, dann hat es auch beliebig viele nichttriviale Lösungen. |
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| 22.11.2007, 15:50 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig. der Satz, den ich aber oben von meiner Lehrerin zitiert hatte war: "Ein homogenes LGS hat genau dann genau eine nichttriv. Lösung, wenn det(A) = 0 ist." der ist ja dann wieder falsch. Für die Eigenvektoren sind aber ja eigtl wiederum nur die nichttrivialen Lösungen interssant, die nicht ein Vielfaches einer anderen Lösung sind. |
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| 22.11.2007, 16:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, wenn der Satz genau so formuliert wurde. Möglicherweise hast du es falsch verstanden oder die Lehrerin hat sich beim Formulieren verhaspelt. |
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| 22.11.2007, 21:35 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nene sie hat ja auchnoch mehrfach wiederholt, dass es zu einem EW immer nur einen EV gebe... |
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| 23.11.2007, 08:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das ist definitiv falsch wie du auch an meinem Beispiel siehst. |
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